2.21. Дискретное преобразование Фурье
Выше
было рассмотрено несколько методов описания последовательностей или дискретных
систем. К ним относятся дискретная свертка, преобразование Фурье и z-преобразование.
В тех случаях, когда последовательность периодична (а также, как будет
показано, когда она имеет конечную длительность), ее можно представить рядом
Фурье. Итак, рассмотрим периодическую) последовательность 
с периодом в 
отсчетов. Ее можно записать
следующим образом:
(2.129)
причем
частоты спектральных составляющих, образующих , могут принимать только значения 
, поскольку периоды
других частот не кратны .
В равенстве (2.129) коэффициенты 
представляют амплитуды синусоид с
частотами 
. Запись вида
(2.129) избыточна вследствие периодичности функции 
так как комплексные
экспоненты с частотами 
, не отличаются друг от друга, т. е.
(2.130)
Следовательно,
равенство (2.129) можно переписать в виде
(2.131)
подчеркивающем
наличие всего различных
комплексных экспонент с периодом в отсчетов. Для удобства перепишем равенство
(2.131) в общепринятом виде
(2.132)
где
деление на не
изменяет способа представления. Чтобы выразить коэффициенты 
через , умножим обе части равенства
(2.132) на 
,
просуммируем результаты по 
:
(2.133)
Меняя
в правой части (2.133) порядок суммирования и используя формулу
(2.134)
получим
(2.135)
или
[после перестановки левой и правой частей равенства (2.135) и замены индекса 
на 
]
(2.136)
Соотношение
(2.136) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ), а (2.132) —
обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).
Из
определений (2.132) и (2.136) видно, что обе последовательности и периодичны с
периодом в отсчетов. Ясно также [см.
(2.136)], что полностью
определяются одним периодом . Отсюда возникает интересный вопрос:
как связаны z-преобразование
конечной последовательности, образованной из одного периода периодической
последовательности, и ДПФ всей периодической последовательности? Иначе говоря,
рассмотрим последовательность конечной длины
(2.137)
причем
последовательность имеет период в отсчетов, т. е. 
представляет собой
один период периодической последовательности . z-преобразование равно
(2.138)
Вычисляя
сумму (2.138) при 
, т. е. в точке на
единичной окружности с полярным углом 
, находим
(2.139)
Сравнивая
суммы (2.139) и (2.136) и учитывая, что 
на интервале 
, получаем
(2.140)
Итак,
коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования
этой же последовательности в точках,
равномерно распределенных по единичной окружности. Еще более
важный вывод состоит в том, что коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют
саму последовательность, так как по ним можно точно восстановить исходную
последовательность, используя обратное ДПФ. Итак, хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для
периодических последовательностей, важно, что через них можно представлять
последовательности конечной длины.
Фиг. 2.26. Последовательности, иллюстрирующие
свойства ДПФ.
Для
иллюстрации приведенных положений рассмотрим периодическую последовательность
(фиг. 2.26, а) с периодом , определяемую как
Согласно
определению (2.136), ее ДПФ равно
Модули
и фазы элементов последовательности для случая 
и 
изображены на фиг 2.26, б.
Последовательность конечной длины (фиг. 2.26, в) определяется как
т.
е. она состоит из одного периода последовательности . Ее z-преобразование
равно
Вычисляя
значения 
на
единичной окружности, получим
Модуль
и фаза полученной функции для 
изображены на фиг. 2.26,
г. Ясно, что значения и 
в точках 
совпадают.
Поскольку
ДПФ однозначно представляет последовательность конечной длины, появляется
возможность найти ее z-преобразование через коэффициенты ДПФ
этой последовательности. Из соотношений (2.137), (2.132) и определения z-преобразования
получаем
(2.141)
Равенство
(2.141) показывает, что z-преобразование последовательности
непосредственно связано с коэффициентами ее ДПФ. Для точек на единичной
окружности равенство (2.141) принимает вид
(2.142)
где
функции вида 
интерполируют
значения коэффициентов ДПФ на всю ось частот. Следовательно, с
помощью формулы (2.142) по коэффициентам ДПФ последовательности конечной длины
можно найти ее непрерывный частотный спектр.
Представление
конечных последовательностей с помощью ДПФ удобно также для получения значений
преобразования Фурье в 
точках, равномерно распределенных по единичной
окружности. Для получения требуемого частотного разрешения может быть выбрано значительно
большим, чем . Рассмотрим конечную
последовательность 
с преобразованием Фурье
(2.143)
Вычисляя
на частотах 
получим
(2.144)
Введем
новую последовательность длины точек 
:
(2.145)
и
найдем ее -точечное
ДПФ:
(2.146)
Поскольку
при 
, равенство
(2.146) можно записать в виде
(2.147)
Сравнивая
(2.147) и (2.144), получим
(2.148)
Таким
образом, простое дополнение последовательности конечной длины нулевыми
отсчетами позволяет достичь любого разрешения при расчете преобразования Фурье
этой последовательности для совокупности точек, равномерно распределенных по
единичной окружности. При спектральном анализе конечных последовательностей эта
несложная операция является одной из наиболее полезных.
Итак,
мы показали, что ДПФ однозначно представляет последовательность конечной
длины, содержащую элементов,
причем коэффициенты ДПФ равны значениям z-преобразования
последовательности в точках, равномерно
распределенных по единичной окружности. Аналогично z-преобразование
любой (в том числе и бесконечной) последовательности однозначно представляет
эту последовательность. Было также показано, что дискретизация во временной
области приводит к наложению в частотной области. Покажем теперь, что
дискретизация в частотной области также приводит к наложению во временной
области. Рассмотрим сначала, какая получится последовательность, если в
качестве коэффициентов ДПФ взять значения
произвольного z-преобразования, вычисленного в точках,
равномерно распределенных по единичной окружности. Для большей ясности предположим,
что последовательность 
(не обязательно конечная) имеет z-преобразование
(2.149)
Определим
набор коэффициентов ДПФ как
(2.150)
По
этим коэффициентам можно найти периодическую последовательность 
, равную
(2.151)
Подставляя
значения коэффициентов (2.150) в формулу (2.151) и заменяя индекс суммирования
на ,
получим
(2.152)
Соотношение
(2.152) является весьма важным. Оно показывает, что периодическая последовательность,
получаемая из обратного ДПФ набора значений z-преобразования
непериодической последовательности, вычисленных в точках, которые равномерно
распределены по единичной окружности, состоит из сдвинутых и наложенных копий исходной непериодической
последовательности.
Фиг. 2.27. Две последовательности и соответствующие
им эквивалентные периодические последовательности.
Если
длина последовательности не превышает отсчетов, то наложение в фактически
отсутствует. Равенство (2.152) также показывает, что искажения, связанные с
наложением, которые возникают при описании бесконечной последовательности конечным
числом коэффициентов ДПФ, уменьшаются
при увеличении . На фиг. 2.27 изображены две
последовательности и соответствующие им -точечные периодические
эквиваленты. В первом примере длина последовательности близка к , поэтому повторяет ее почти
без искажений. Во втором примере длина значительно больше , поэтому
периодическая последовательность заметно отличается от исходной.
