ПРЕДИСЛОВИЕ

Руководства по теории групп Ли обычно ограничиваются локальным аспектом теории. Такое ограничение, быть может, и было необходимым, пока общая топология еще не была настолько разработана, чтобы доставить солидную базу для теории строения групп Ли в делом. Это время теперь настало, и мы полагаем, что было бы полезно иметь систематическое изложение теории не с локальной, а с интегральной точки зрения. Предлагаемый том содержит основные принципы теории групп Ли.

Группа Ли есть в одно и то же время группа, топологическое пространство и многообразие; она обладает, тем самым, «структурами» троякого рода, находящимися во взаимосвязи друг с другом. Элементарные свойства абстрактных групп ныне настолько хорошо известны широкой математической публике, что нет нужды помещать в такой книге, как эта, чисто теоретико-групповую главу. Но теория топологических групп включена и рассматривается в главе II. Преобладающая часть этой главы посвящена теории накрывающих пространств и групп, строящейся независимо от теории путей. Предметом главы III служит теория (аналитических) многообразий (независимо от понятия группы). Наше определение многообразия подсказано определением римановой поверхности, данным Г. Вейлем в его книге «Die Idee der Riemannschen Flache»; по сравнению с определением посредством перекрывающихся систем координат оно имеет то преимущество, что является внутренним. Теория инволютивных систем дифференциальных уравнений на многообразии рассматривается не только с локальной, но и с интегральной точки зрения. Для достижения этого дается такое определение подмногообразий многообразия, при котором подмногообразие не обязано быть топологическим подпространством содержащего его многообразия.

В главе IV понятия топологической группы и многообразия объединяются для образования понятий аналитической группы и группы Ли. Аналитическая группа есть топологическая групп,

заданная a priori как многообразие; группа Ли (по крайней мере, если она связная) есть топологическая группа, которую можно наделить структурой многообразия так, чтобы она стала аналитической группой. Устанавливается, что если это возможно, то указанная структура однозначно определена, так что связная группа Ли и аналитическая группа в действительности представляют собой один и тот же объект, лишь различными способами определенный. Однако во втором томе мы увидим, что разница становится уже реальной при рассмотрении комплексных аналитических групп вместо вещественных, о которых идет речь здесь.

Глава V содержит изложение как в топологическом, так и в дифференциально-геометрическом аспектах картановской теории внешних дифференциальных форм, играющей существенную роль в общей теории групп Ли. Эта теория дифференциальных форм приводит, в частности, к построению инвариантного интеграла на группе Ли. Несмотря на то, что инвариантное интегрирование может быть определено на произвольных локально компактных группах, мы сочли более соответствующим духу монографии, посвященной группам Ли, вывести его из существования левоинвариантных дифференциальных форм.

Глава VI посвящена общим свойствам компактных групп Ли. Разумеется, основные факты содержатся втеореме Петера-Вейля, обеспечивающей существование точных линейных представлений. Мы включили также доказательство предложенного Таннака обобщения понтрягинской теоремы двойственности. Легкое изменение доказательства самого Таннака показывает, что компактную группу Ли можно рассматривать как совокупность вещественных точек некоторого алгебраического многообразия в комплексной аффинной плоскости, причем все это многообразие само есть группа Ли, в которой можно ввести комплексные координаты.

Второй том этой книги, подготавливаемый к печати, будет посвящен главным образом теории и классификации полупростых групп Ли.

К. Ш.