§ V. Локальный изоморфизм. Примеры

Пусть связная топологическая группа и в — ее нейтральный элемент. Как мы знаем, всякая его окрестность V представляет собой систему образующих группы (теорема 1, стр. 54). Нас будет теперь интересовать вопрос о соотношениях между этими образующими.

Предположим, что мы обладаем аналитическим аппаратом, позволяющим вычислять произведения лишь в том случае, когда лежат в V (позже мы увидим, что такое положение возникает во многих случаях). Тогда каждой паре элементов из V такой, что соответствует соотношение между нашими образующими группы Возникает вопрос: все ли соотношения, имеющие место между элементами окрестности V, являются следствиями соотношений описанного сейчас типа?

Как мы скоро увидим, этот вопрос, вообще говоря, разрешается отрицательно. Однако, прежде чем переходить к этому, дадим другую, но эквивалентную формулировку нашей задачи.

Определение 1. Локальным изоморфным отображением топологической группы в топологическую группу называется гомеоморфное отображение некоторой окрестности V нейтрального элемента из на окрестность нейтрального элемента из обладающее следующими свойствами:

Группы допускающие такое отображение, называются локально изоморфными.

В терминах этого понятия наш первоначальный вопрос можно сформулировать следующим образом: всегда ли возможно продолжить локальное изоморфное отображение группы до отображения всей группы так, чтобы стало изоморфизмом базисных групп для

Приведем два примера, показывающих, что такое продолжение не всегда возможно.

1) Пусть отображение, относящее каждому вещественному числу его класс вычетов по модулю -отображение, которое индуцирует на интервале Очевидно, локальное изоморфное отображение группы

в Но оно не может быть продолжено до изоморфизма групп так как эти группы не изоморфны.

2) Рассмотрим группу т. е. мультипликативную группу кватернионов

удовлетворяющих условию

Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение алгебры кватернионов на себя, определенное формулой

Принимая во внимание, что имеем:

Это показывает, что отображает совокупность частых кватернионов (т. е. кватернионов вида ) на себя; действительно, чистые кватернионы характеризуются условием Имеем

где

Обозначим матрицу через Так как то

Поэтому отображение есть представление группы матрицами третьего порядка.

Для любых двух кватернионов имеем

Так как коэффициентом при в выражении для служит то мы видим, что линейная подстановка (1) над переменными х и у оставляет выражение инвариантным. Другими словами, матрица ортогональна.

Как мы знаем, группа связна (лемма 2 § IV, стр. 56). Так как отображение очевидно, непрерывно, то заключаем, что принадлежит связной компоненте нейтрального элемента в группе Докажем теперь, что есть вся группа Легкий подсчет показывает, что

Отсюда следует, что содержит группу вращений вокруг оси аналогично убедимся в том, что содержит группу вращений вокруг оси Поэтому наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что в совокупности порождают Пусть любое вращение и конец единичного вектора оси исходящего из начала . В можно найти операцию такую, что будет точкой плоскости хгхь. Так как эта точка находится на единичном расстоянии от начала, то можно найти операцию такую, что Отсюда следует, что значит, принадлежит группе, порожденной подгруппами и

Определим теперь ядро представления Если в единичная матрица, то кватернион должен быть перестановочным с каждым чистым кватернионом, и в частности с Отсюда сразу вытекает, что и значит Следовательно, ядро нашего представления состоит из двух кватернионов

Пусть V — компактная окрестность элемента такая, что не принадлежит . Тогда отображает V непрерывно и взаимно однозначно. Так как V компактно, то отображение, индуцируемое отображением на V, есть гомеоморфное отображение множества V на некоторое подмножество из Докажем, что является окрестностью нейтрального элемента в . Пусть открытая окрестность элемента содержащаяся в Дополнение А множества компактно. Пусть пробегает все компактные окрестности единичной матрицы в если бы семейство множеств обладало свойством непустоты пересечений конечных подсемейств, то существовала бы точка такая, что для каждого откуда

единичная матрица), что, однако, невозможно. Так как всякое конечное пересечение множеств вида есть снова множество того же вида, то заключаем, что в существует окрестность матрицы такая, что

Так как

то отсюда следует, что чем наше утверждение и доказано.

Пусть - отображение, индуцируемое отображением на Если то в К существует такой элемент что т. е. Так как не содержится в то откуда Таким образом, является локальным изоморфным отображением группы

Предположим теперь, что можно было бы продолжить до полного изоморфизма групп так как гомоморфизмы, совпадающие на множестве V, представляющем собой систему образующих группы то мы должны были бы иметь что, однако, невозможно, поскольку единичная матрица.

Пусть -подгруппа группы состоящая из элементов Отображению соответствует непрерывное взаимно однозначное гомоморфное отображение факторгруппы на Так как компактна, то является также гомеоморфизмом. Таким образом, мы доказали

Предложение 1. Группа изоморфна (как топологическая группа) факторгруппе группы по подгруппе, состоящей из элементов

Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы Представляя

точкой мы видим, что гомеоморфна пространству, получаемому путем отождествления диаметрально противоположных точек на 58, т. е. трехмерному проективному пространству.