§ XV. Группы автоморфизмов

Пусть подгруппа группы Будем обозначать коэффициенты матрицы через Мы будем говорить, что есть алгебраическая подгруппа группы если существует система полиномов от аргументов (где а пробегает некоторое множество индексов) такая, что условия

и

эквивалентны. Например, и являются алгебраическими подгруппами группы алгебраической подгруппой группы

Обозначим через вещественную и мнимую части коэффициента Если можно найти систему полиномов от аргументов такую, что условия

и

эквивалентны, то мы будем говорить, что есть псевдоалгебраическая подгруппа группы Например, являются

псевдоалгебраическими подгруппами группы , a - псевдо-алгебраической подгруппой группы

Следствие предложения 1 § XIV, стр. 198, показывает, что любая алгебраическая или псевдоалгебраическая подгруппа группы (рассматриваемая как топологическая подгруппа этой группы) есть группа Ли.

Пусть теперь любая алгебра над полем вещественных чисел, т. е. векторное пространство конечной размерности над в котором определен билинейный закон композиции (ничего, кроме билинейности, мы от этого закона композиции не требуем). Автоморфизмы алгебры очевидно, образуют некоторую подгруппу группы автоморфизмов базисного векторного пространства алгебры (т. е. подгруппу группы Пусть базис пространства каждый автоморфизм а алгебры записывается по отношению к этому базису некоторой матрицей (которую мы также будем обозначать через Пусть

Тогда условия, выражающие, что а есть автоморфизм, т. е. условия

могут быть выражены некоторым числом алгебраических (и притом вещественных) соотношений между коэффициентами а. Это показывает, что есть псевдоалгебраическая подгруппа группы и тем самым — группа Ли. Определим алгебру Ли этой группы. Пусть а — это алгебра Ли. Она является подалгеброй алгебры Ли группы и потому элементы из а можно рассматривать как матрицы порядка с вещественными коэффициентами, т. е. так же как линейные эндоморфизмы базисного векторного пространства алгебры Пусть А — матрица из а. Тогда для всякого вещественного есть автоморфизм алгебры так что

для любых

Из этого соотношения имеем:

где единичная матрица, матрица, коэффициенты которой остаются ограниченными, когда 0. Отсюда легко еле дует, что

Каждый линейный эндоморфизм А алгебры удовлетворяющий условию (1), называется дифференцированием этой алгебры. Таким образом, каждая матрица является дифференцированием алгебры Покажем, что верно и обратное утверждение.

Пусть - дифференцирование алгебры Имеем

где суммирование распространено на все пары такие, что (мы полагаем Пусть

Как мы знаем (см. § II главы I, стр. 14), коэффициенты матрицы по абсолютной величине меньше, чем где некоторая константа. Отсюда легко следует, что двойной ряд сходится. А тогда

так что откуда Мы доказали

Предложение 1. Пусть любая алгебра над полем вещественных чисел. Ее дифференцирования образуют подалгебру алгебры (где размерность алгебры ), являющуюся вместе с тем алгеброй Ли группы автоморфизмов алгебры

Предположим, в частности, что алгебра Ли односвязной группы Ли Пусть а — любой автоморфизм алгебры ему соответствует тогда непрерывное гомоморфное отображение группы в себя такое, что (см. теорему 2, стр. 166). Будучи автоморфизмом, а обладает обратным отображением а, также являющимся автоморфизмом. Пусть непрерывное гомоморфное отображение группы в себя, соответствующее автоморфизму атак как есть тождественное

отображение алгебры то заключаем, что есть тождественное отображение группы Так же убедимся в том, что и есть тождественное отображение группы Это показывает, что есть изоморфное отображение группы (рассматриваемой как топологическая группа) на себя (т. е. автоморфизм базисной ее группы и гомеоморфное отображение базисного ее пространства на себя). Такое отображение называется автоморфизмом группы . Обратно, легко видеть, что каждому автоморфизму группы соответствует автоморфизм алгебры Таким образом, мы доказали

Предложение 2. Группа автоморфизмов односвязной группы Ли изоморфна группе Ли, имеющей своей алгеброй алгебру дифференцирований алгебры Ли группы

Обозначим через автоморфизм группы соответствующий автоморфизму а алгебры Ли Для каждого в силу предложения 1 § IX, стр. 174, имеем:

это показывает, что при фиксированном X непрерывно зависит от а. Так как связная группа, то каждый ее элемент может быть записан в виде где Поэтому заключаем, что при любом фиксированном непрерывно зависит от а.

Пусть теперь связная, но не односвязная группа Ли ее односвязная накрывающая группа. Пусть автоморфизм группы Тогда есть непрерывное гомоморфное отображение группы Обозначим нейтральные элементы групп соответственно, через В силу предложения главы II, стр. 76, существует непрерывное отображение группы в себя такое, что Соответствие

непрерывно отображает связное пространство в ядро гомоморфизма которое дискретно. Отсюда непосредственно следует, что

а это означает, что есть гомоморфное отображение группы в себя. Пусть автоморфизм, обратный к Ему, таким же образом, соответствует непрерывное гомоморфное отображение группы в себя. При этом ясно, что в существует окрестность элемента на которой совпадают с тождественным отображением. Так как связна, то совпадают тогда с тождественным отображением на всей группе а это показывает, что есть автоморфизм этой группы. Кроме того, очевидно, имеем

Обратно, пусть автоморфизм группы такой, что Пусть элемент из любой элемент из такой, что Тогда зависит только от но не от выбора элементов Положим Легко проверить (с помощью рассуждений, аналогичных примененным выше), что есть автоморфизм группы

Таким образом, группа автоморфизмов группы может быть отождествлена с группой тех автоморфизмов группы которые отображают на себя. Так как замкнуто, то из замечания, следующего за предложением 2, вытекает, что эта группа является замкнутой подгруппой группы автоморфизмов группы (в топологии, при которой есть группа Ли). Таким образом, мы доказали, что группа автоморфизмов любой связной группы Ли изоморфна некоторой группе Ли.