Глава V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КАРТАНА
Краткое содержание. §§ I и II носят алгебраический характер; предметом их является построение грассмановской алгебры 51, соответствующей заданному векторному пространству Из соображений удобства мы придали конструкции такую форму; чтобы в 51 содержалось пространство, дуальное к (а не само 
), т. е. элементами алгебры 
являются знакопеременные контра вариантные тензоры.
В § III мы определяем внешние дифференциальные формы Кар-тана на многообразии и их дифференцирование. При аналитическом отображении эти формы преобразуются контравариантно (почему мы и вводим обозначение 
рассматривая его как дуальное к обозначению главы III). Устанавливается, что операция 
перестановочна с дифференцированием (формула (4) § III, стр. 221).
В §§ IV и V мы применяем дифференциальное исчисление Картана к теории групп Ли. Определяется 
нятие лево-инвариантной дифференциальной формы; лево-инвариантные дифференциальные формы первого порядка — это формы Маурера-Картана. Их диффренцирование выражается в терминах алгебры Ли формулой (2) § IV, стр. 223. Указывается, как явно построить формы Маурера-Картана (в канонических координатах), если известна алгебра Ли 
. На очень простом примере иллюстрируется явное построение этим методом закона групповой композиции. Следует, однако, заметить, что если не настаивать на применении канонических координат, того же результата можно достичь более простыми методами, которые будут рассмотрены во втором томе.
Остальная часть главы посвящена интегрированию дифференциальных форм на многообразии. Рассматриваются лишь формы наивысшей размерности (так что мы не доказываем обобщенной формулы Стокса). Определив ориентацию многообразия (§ VI), мы строим интеграл от функции относительно дифференциальной формы на ориентированном многообразии (§ VII); построение основано на очень полезной лемме Дьедоннэ (Dieudonne). В § VIII мы определяем инвариантное интегрирование на группе, которое станет основным орудием главы VI.
