Глава III. МНОГООБРАЗИЯ
Краткое содержание. Мы рассматриваем исключительно «аналитические многообразия». Они определяются в § I; наш метод определения представляется несколько более предпочтительным, чем метод Уитнея (Whitney), будучи «внутренним», т. е. не требуя отождествления a posteriori.
В § IV мы определяем понятие касательного пространства к абстрактно заданному многообразию; каждому аналитическому отображению 
многообразия X) в многообразие 
ставится в соответствие дифференциальное отображение 
отображающее касательное пространство к в касательное пространство к 
Дифференциалы функций рассматриваются как частный случай этих дифференциальных отображений.
В § V мы вводим понятие инфинитезимального преобразования, определенного как некоторый закон, относящий каждой точке многообразия касательный вектор в этой точке; мы определяем для инфинитезимальных преобразований композицию 
и рассматриваем влияние, оказываемое на эту операцию отображением многообразия.
В §§ VI-VIII изучается понятие распределения на многообразии 
Распределение определяется как некоторый закон, относящий каждой точке 
из 
некоторое подпространство касательного пространства в этой точке. Интегральное многообразие этого распределения есть подмногообразие многообразия X), имеющее 
касательным пространством в любой из своих точек 
Существование таких интегральных многообразий зависит от определенных условий интегрируемости, которые мы выражаем, говоря, что распределение должно быть «инволютивным» (определение 5 § VI, стр. 131). В § VII мы доказываем, что условие «инволютивности» действительно достаточно для того, чтобы распределение обладало интегральными многообразиями. Интегральные многообразия получаются сперва локально; затем в § VIII с помощью топологического процесса «склеивания» строятся «полные» интегральные многообразия в целом.
В § IX рассматриваются многообразия, для которых выполняется вторая аксиома счетности Хаусдорфа. Эта аксиома используется лишь при доказательстве предложения 1 § IX, стр. 142; однако, неизвестно, необходима ли эта аксиома даже здесь.
