§ I. Общие понятия

Пусть — произвольное множество элементов. Под -модулем над полем К мы понимаем пару образованную конечномерным векторным пространством над К и отображением относящим каждому элементу линейный эндоморфизм пространства Таким образом, -модуль есть аддитивная групга с двумя областями операторов: полем К и множеством

Два -модуля и называются изоморфными, если существует линейное изоморфное отображение пространства на такое, что для. каждого

В частности, нам придется рассматривать тот случай, когда есть совокупность элементов некоторой группы Пусть нейтральный элемент этой группы, -модуль называется пространством представления группы если выполнены следующие условия:

1) для любых двух элементов из G;

2) есть тождественное отображение пространства Из этих условий непосредственно следует, что является тогда отображением, обратным к Отображение называется представлением группы Размерность пространства называется степенью представления

Замечание. Правильным обозначением для -модуля или пространства представления является Однако часто для обозначения -модуля (или пространства представления) мы будем применять один символ это обозначение мы будем рассматривать как сокращенное и в случае опасности смешения будем избегать его.

Пусть пространство представления группы Выбрав в какой-нибудь базис мы можем выразить каждый линейный эндоморфизм матрицей

порядка коэффициенты которой задаются формулами

Имеем:

( единичная матрица).

Обратно, любое отображение группы в совокупность матриц порядка с коэффициентами из удовлетворяющее условиям называется представлением (степени группы Желая провести различие между представлениями линейными эндоморфизмами и представлениями матрицами, мы будем говорить в первом случае об абстрактных представлениях, а во втором о матричных представлениях. Если матричное представление получено из абстрактного представления путем выбора некоторого базиса в пространстве представления то мы будем говорить, что

есть матричная форма представления абстрактная форма представления Ясно, что любое матричное представление обладает по крайней мере одной абстрактной формой и каждое абстрактное представление степени по крайней мере одной матричной формой.

Два абстрактных представления группы называются эквивалентными, если их пространства представления и изоморфны. Два матричных представления группы называются эквивалентными, если существует регулярная матрица такая, что

(из этого, в частности, следует, что имеют одинаковую степень). Легко доказать следующие утверждения: эквивалентные матричные представления обладают общей абстрактной формой, причем каждая абстрактная форма представления эквивалентна каждой абстрактной форме представления если эквивалентные абстрактные представления группы (имеющие положительную степень), то любая матричная форма представления эквивалентна любой матричной форме представления

Пусть любой -модуль. Векторное подпространство пространства называется инвариантным (относительно если

В этом случае отображение индуцируемое отображением есть некоторый линейный эндоморфизм пространства пара есть -модуль; он называется подмодулем модуля Далее, для любого вектора из класс вычетов по содержащий зависит только от класса вычетов содержащего Обозначим класс вычетов, содержащий через есть линейный эндоморфизм пространства и пара есть -модуль. Если — пространство представления группы инваоиантное его подпространство, то -также пространства представления группы О.

Пусть инвариантное подпространство -модуля имеющее положительную размерность. Выберем в базис такойл чтобы элементы

образовывали базис подпространства Пусть какой-нибудь элемент из Матрица, выражающая относительно базиса имеет вид

где квадратные матрицы порядков, соответственно, прямоугольная матрица с строками и столбцами. Матрица выражает отображение, индуцируемое отображением (отнесенное к базису пространства матрица выражает эндоморфизм фактор-пространства соответствующий эндоморфизму (отнесенный к базису пространства образованному классами вычетов векторов

Пусть теперь три инвариантных подпространства некоторого -модуля. Имеют место следующие «теоремы о гомоморфизмах», принадлежащие Нётеру (Fr. Noether):

I. Если то есть инвариантное подпространство пространства изоморфно .

II. Для любых двух инвариантных пространств пространства инвариантны и изоморфно

При этом изоморфизмы, существование которых утверждается в этих теоремах, являются «естественными изоморфизмами», т. е. могут быть определены независимо как от множества так и от отображения его в множестве эндоморфизмов рассматриваемого -модуля.

За доказательством этих фактов мы отсылаем читателя к книге ван дер Варден, Современная алгебра, гл. VI, стр. 184—185 (2-е изд.).

Определение -модуль называется простым, если его размерность положительна и единственными инвариантными подпространствами пространства служат

Это определение содержит, в частности, определения простого пространства представления группы Такое пространство представления очень часто называют также неприводимым. Соответствующее представление группы также называют простым или неприводимым. Матричное представление группы называется простым или неприводимым, если его абстрактная форма — простая.

Определение -модуль называется полупростым, если его можно представить в виде суммы простых подмодулей.

Замечание 1. Суммой системы подпространств векторного пространства называется совокупность всех векторов вида причем лишь конечное число векторов отлично от нуля. Ясно, что сумма инвариантных подпространств -модуля есть инвариантное подпространство.

Замечание -модуль размерности будет рассматриваться как полупростой; его можно считать суммой пустого множества подмодулей.

Предложение 1. Полупростой -модуль можно представить в виде прямой суммы конечного множества простых подмодулей. При этом для любого инвариантного подпространства из 5 существует подмножество множества такое, что есть прямая сумма подпространства и суммы подмодулей, принадлежащих множеству

По предположению, есть сумма некоторой (конечной или бесконечной) системы простых подмодулей. Выбирая в какой-нибудь базис и представляя каждый элемент этого базиса в виде суммы векторов, принадлежащих подмодулям из системы убеждаемся в том, что во всяком случае можно представить в виде суммы некоторого конечного множества простых подмодулей. Выберем среди всех конечных подмножеств множества обладающих тем свойством, что сумма их членов совпадает с подмножество с наименьшим возможным числом элементов. Пусть это будет, скажем, подмножество и различные его элементы. Имеем утверждаем, что это — прямая сумма. Действительно, допустим, что имеет место соотношение вида

Тогда

Но есть инвариантное подпространства пространства если бы мы имели

то содержалось бы в было бы равно в противоречие с нашим выбором множества Так как подпространство простое, то имеем поэтому

Таким же образом убедимся в том, что Тем самым наше утверждение доказано.

Пусть теперь любое инвариантное подпространство пространства Рассмотрим подмножества множества обладающие тем свойством, что равно сумме подпространства и модулей из тдким подмножеством будет, например, само множество Выберем среди этих подмножеств то, которое содержит наименьшее возможное число элементов. Пусть это будет, скажем, подмножество его элементы. Тогда с помощью рассуждения, совершенно аналогичного примененному выше, убедимся в том, что есть прямая сумма подпространств

Предложение 2. Пусть есть -модуль, обладающий следующим свойством: для любого инвариантного подпространства пространства существует инвариантное подпространство такое, что есть прямая сумма подпространств Тогда полупростой -модуль.

Пусть сумма всех простых подмодулей модуля По предположению, есть прямая сумма пространства и некоторого другого инвариантного подпространства пространства Если бы мы имели то 91 содержало бы некоторый простой подмодуль (таким подмодулем было бы, например, инвариантное подпространство пространства 91, имеющее наименьшую положительную размерность). Но любой простой подмодуль содержится в таким образом, предположение, что приводит к противоречию, и значит

Предложение 3. Пусть

— два разложения полупростого -модуля в прямую сумму простых -модулей. Тогда и существует такая подстановка индексов что изоморфно

Доказательство будет состоять в построении подстановки Предположим, что уже определено для и обладает следующими свойствами:

b) изоморфно для

Рассмотрим инвариантное подпространство

Согласно предложению 1, существует инвариантное подпространство являющееся прямой суммой некоторого числа пространств и такое, что есть прямая сумма Последнее показывает, что изоморфно факторпространству т. е. пространству Отсюда следует, простой модуль и потому совпадает с одним из модулей скажем, Так как при то ни для какого Полагаем тогда, по определению, равным Ясно, что функция определенная теперь для всех удовлетворяет условиям а), (с заменой на ).

Так как, по доказанному, мы можем определить на множестве функцию взаимно однозначно отображающую его в то необходимо Поскольку оба разложения совершенно равноправны, имеем также значит, Тем самым предложение 3 доказано.

Пусть теперь — пространство полупростого представления группы любое неприводимое представление этой группы. Разложив в прямую сумму простых подпространств, мы можем подсчитать число тех из них, которые соответствуют представлениям, эквивалентным заданному представлению А. Из предложения 3 следует, что это число не зависит от выбора разложения пространства Определенное так число называется кратностью, с которой предстазление А входит в представление

Предложение 4. Пусть простой -модуль над алгебраически замкнутым полем Предположим, что все эндоморфизмы перестановочны друг с другом. Тогда пространство 3 одномерно.

Действительно, пусть произвольный элемент из 5. Так как К алгебраически замкнуто, то существуют элемент и

и вектор из такие, что Пусть совокупность всех векторов удовлетворящих этому уравнению. Ясни, что векторное подпространство пространства Кроме того, для любых имеем

откуда так что инвариантно. Так как пространство простое, то заключаем, что Другими словами, для всякого существует элемент и такой, что

Отсюда непосредственно следует, что каждое подпространство пространства 3 инвариантно. А так как простое, то оно совпадает с подпространством, порожденным любым вектором из значит,