Пусть
— произвольный кватернион. Через
мы будем обозначать кватернион
и будем называть
сопряженным с
Имеем
есть неотрицательное вещественное число, которое может быть равно нулю лишь если
Это число называется нормой кватерниона
и обозначается через
Если
кватернионы, то, как легко видеть,
Эти факты мы будем выражать словами: сопряжение
есть инволюторный антиавтоморфизм алгебры
Имеем:
откуда
Из существования нормы вытекает, что
есть алгебра с делением, т. е. что для каждого кватерниона
существует обратный кватернион
так что
а именно,
Пусть
совокупность всех кватернионов вида
где
Суммы и произведения элементов из
принадлежат сноса
далее, если
то
Поэтому
есть подалгебра алгебры
Отнеся каждому элементу
комплексное число
мы, очевидно, получим изоморфизм алгебры
с полем С комплексных чисел.
Так как алгебра
содержит поле, изоморфное с С, то ее можно рассматривать как векторное пространство над С. Точнее говоря, примем следующее определение: если
то
представляет кватернион
Тогда
а эти формулы и показывают, что
можно рассматривать как векторное пространство над С (для удобства мы пишем множитель
справа от
Любой кватернион
можно записать в виде
Отсюда непосредственно следует, что
есть алгебра ранга 2 над С.
Каждому кватерниону
соответствует отображение
алгебры
в себя, определяемое формулой
Имеем
далее, так как
то
Это показывает, что есть эндоморфизм алгебры
рассматриваемой как векторное пространство над С. В качестве такового
может быть представлен матрицей второго порядка, коэффициенты которой определяются формулами
В частности, имеем:
откуда
С другой стороны,
Таким образом, отображение
является представлением алгебры
матрицами второго порядка с коэффициентами из С.
Заметим, наконец, что
откуда