§ VI. Кватернионы

Алгебра кватернионов есть алгебра ранга 4 над полем вещественных чисел, обладающая базисом из четырех элементов таблица умножения которых задается формулами:

отображение предполагается четной подстановкой множества Таким образом, кватернион может быть записан в форме с вещественными коэффициентами Сложение и умножение определяются обычными законами дистрибутивности и формулами (1).

Из этих формул сразу видно, что является единичным элементом алгебры Далее, легко проверить, что

поэтому ассоциативная (но не коммутативная) алгебра.

Пусть

— произвольный кватернион. Через мы будем обозначать кватернион

и будем называть сопряженным с

Имеем

есть неотрицательное вещественное число, которое может быть равно нулю лишь если Это число называется нормой кватерниона и обозначается через

Если кватернионы, то, как легко видеть,

Эти факты мы будем выражать словами: сопряжение есть инволюторный антиавтоморфизм алгебры Имеем:

откуда

Из существования нормы вытекает, что есть алгебра с делением, т. е. что для каждого кватерниона существует обратный кватернион так что а именно,

Пусть совокупность всех кватернионов вида где Суммы и произведения элементов из принадлежат сноса далее, если то Поэтому есть подалгебра алгебры Отнеся каждому элементу комплексное число мы, очевидно, получим изоморфизм алгебры с полем С комплексных чисел.

Так как алгебра содержит поле, изоморфное с С, то ее можно рассматривать как векторное пространство над С. Точнее говоря, примем следующее определение: если то представляет кватернион Тогда

а эти формулы и показывают, что можно рассматривать как векторное пространство над С (для удобства мы пишем множитель справа от Любой кватернион можно записать в виде

Отсюда непосредственно следует, что есть алгебра ранга 2 над С.

Каждому кватерниону соответствует отображение алгебры в себя, определяемое формулой

Имеем далее, так как то Это показывает, что есть эндоморфизм алгебры рассматриваемой как векторное пространство над С. В качестве такового может быть представлен матрицей второго порядка, коэффициенты которой определяются формулами

В частности, имеем:

откуда

С другой стороны, Таким образом, отображение является представлением алгебры матрицами второго порядка с коэффициентами из С.

Заметим, наконец, что

откуда