Глава VI. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Краткое содержание. Глава начинается изложением простейших сведений из общей теории представлений. В целях последующего применения излагаемых понятий и результатов к теории представлений алгебр Ли, мы вводим общее понятие -модуля», где -совершенно произвольное множество. Ход изложения прерывается в § II для того, чтобы возможно скорее доказать тот существенный факт, что каждое представление компактной группы Ли — полупростое.

В §§ VII — IX развиваются идеи, сосредоточивающиеся вокруг теорем ван Кампена (van Kampen) и Таннака (Таппака). Главное ударение делается на построении комплексной группы Ли, соответствующей заданной компактной группе Ли. Из теоремы Таннака следует, что компаьтную группу Ли можно определить как группу «представлений» совокупности представлений группы соответствующую комплексную группу Ли мы получаем, отбрасывая одно из условий, которые Таннака включил в понятие «представления совокупности а именно, условие, относящееся к комплексно-сопряженным представлениям. Наш метод естественным путем приводит к тому результату, что комплексная группа, соответствующая компактной группе Ли топологически эквивалентна произведению пространства и декартова пространства; это — частный случай одной теоремы Картана.

В § XI мы даем доказательство знаменитой теоремы Петера-Гейля. §§ XII и XIII посвящены некоторым простым применениям этой теоремы,