§ I. Определение понятия аналитической группы. Примеры

Определение 1. Аналитическая группа есть пара образованная многообразием и группой удовлетворяющая следующим условиям: 1) совокупность точек многообразия X) совпадает с совокупностью элементов группы

2) отображение многообразия всюду аналитично.

S называется базисным многообразием аналитической группы. Базисное топологическое пространство многообразия называется также базисным пространством группы. Так как каждое аналитическое отображение непрерывно, то пара, образованная базисным пространством и группой О, является топологической группой; она называется базисной топологической

группой аналитической группы. Эта топологическая группа, очевидно, свяона и локально односвизна.

Аддитивная векторная группа в сочетании с многообразием определенным в главы III, стр. 111, есть аналитическая группа; мы будем обозначать ее снова через

Рассмотрим теперь группу Пусть матрица из этой группы. Обозначим через вещественную и мнимую части коэффициента Относя матрице точку с координатами (расположенными в каком-нибудь фиксированном порядке), мы получим гомеоморфизм, пространства и множества тех точек из для которых

Это множество — открытое. С другой стороны, группа связна. Поэтому мы можем определить многообразие с тем же базисным пространством, что и требуя, чтобы функций образовывали систему координат в каждой точке из (см. главу III, § II, стр. 111).

Величины могут быть выражены в виде рациональных функций от знаменатели которых на отличны от нуля. Отсюда следует, что отображение аналитическое, и тем самым доказано, что пара, образованная многообразием X и группой есть аналитическая группа. Мы будем обозначать ее снова через

Рассмотрим, наконец, группу т. е. факторгруппу группы по подгруппе целых чисел. Мы уже определили базисное пространство многообразия как топологическое пространство и видели, что функции всюду аналитичны на и что в каждой точке одна из них является координатой на Из формул

непосредственно видно, что многообразие и группа образуют в совокупности аналитическую группу; мы будем обозначать ее снова через

Пусть теперь Две аналитические группы, X и — их базисные многообразия, их базисные группы,

Произведение группа, причем совокупность элементов этой группы совпадает с совокупностью точек многообразия Пусть пара элементов из Отображение

многообразия очевидно, аналитично. Отображения

многообразий в и по предположению, аналитичны. Отсюда легко следует аналитичность отображения

многообразия в Поэтому аналитично и отображение

многообразия в Это означает, что пара, образованная многообразием и группой есть аналитическая группа. Мы будем называть ее произведением аналитических групп и обозначать через Аналогично можно определить и произведение любого конечного числа аналитических групп.