§ XI. Числа Клиффорда. Спинорная группа

Пусть - поле характеристики Мы построим алгебру над К, порождаемую единичным элементом другими элементами любое целое положительное число) так, что для всяких будет

выполняться тождество

т. е. мы будем иметь

Легко видеть, что каждый элемент из о будет линейной комбинацией элемента и произведений

Перейдем теперь к фактическому построению алгебры . Отнесем каждому подмножеству А множества символ и будем рассматривать эти символы как образующие базис векторного пространства над К. Это векторное пространство имеет, таким образом, размерность Через где два подмножества множества будем обозначать совокупность тех элементов, которые входят либо в А, либо в но не в оба эти множества одновременно. Через где обозначим число элементов таких, что и положим

Умножение базисных элементов мы определим теперь формулой

Докажем, что это умножение ассоциативно. Пусть поле характеристики 2 с двумя элементами обозначим через где отображение множества в определяемое условиями: если если Так как то имеем:

откуда

и

С другой стороны, имеем:

откуда следует, что оба равны

Таким образом, мы определили некоторую ассоциативную алгебру о над К. Положим

тогда для

будем иметь

и формулы (1) будут выполняться.

Элементы алгебры о называются числами Клиффорда. Определим теперь центр и двусторонние идеалы алгебры о. Поставим в соответствие каждому линейное отображение алгебры о в себя, определяемое формулой

Вычислим обозначая через число элементов множества легко находим, что:

Пусть Если четно, то

Если же нечетно, то

Отсюда, в частности, следует, что при нечетном принадлежит центру алгебры .

Пусть с — центр алгебры . Если то для каждого значит, Из предыдущего тогда непосредственно следует, что

Пусть теперь а — любой двусторонний идеал и

— любой отличный от нуля элемент из а. Предположим, что тогда

где значит, и принадлежит идеалу а. Но если четно, то

следовательно, в атом случае и, значит, Таким образом, мы доказали

Предложение 1. Если четно, то центром алгебры чисел Клиффорда служит (где -основное поле), единственными же двусторонними идеалами в этой алгебре являются и вся алгебра.

Если нечетно, то

Легко видеть, что

Если не является квадратом в К, то центр

алгебры о есть поле; так как из предыдущего видно, что ненулевой идеал в с, то заключаем, что а откуда Предположим теперь, что

Тогда элементы

являются ортогональными идемпотентами в с (т. е. и мы имеем Ненулевыми двусторонними идеалами в с служат Поэтому а содержит один из элементов Предположим, что а содержит и; если существует элемент такой, что то содержит

(так как принадлежит центру, то для каждого ). Отсюда следует, что, при либо либо . В последнем случае, очевидно, имеем Мы доказали

Предложение 2. Если нечетно, то центром алгебры чисел Клиффорда служит Если при этом не является квадратом в К, то единственными двусторонними идеалами в о будут и все . Если же

двусторонними идеалами в будут

Пусть произвольный элемент из с. Отображение

является линейным эндоморфизмом векторного пространства над К. Расположив базисные элементы в каком-нибудь определенном порядке, мы можем представить этот эндоморфизм матрицей порядка эту матрицу мы также будем обозначать через Таким путем мы получим представление алгебры матрицами; оно называется регулярным представлением. Обозначим определитель матрицы через В случае нечетного введем в рассмотрение поле получаемое присоединением к линейные комбинации

элементов с коэффициентами из К образуют алгебру о чисел Клиффорда над К. Матрицу можно рассматривать как линейный эндоморфизм алгебры Положим

где элемент из К такой, что

Ясно, что отображает подпространства и от пространства в себя; обозначим эндоморфизмы, которые индуцирует в подпространствах через , а определители этих эндоморфизмов — через Имеем

где любая из функций

Элемент называется регулярным, если он обладает обратным элементом, т. е. если существует элемент такой, что хггх Если элемент регулярен, то откуда Обратно, если то регулярная матрица и потому взаимно однозначно отображает на себя; тогда существует элемент такой, что имеем откуда также элемент х регулярен.

Предположим теперь, что полем К служит поле вещественных чисел. Регулярные элементы из образуют мультипликативную группу, которую мы будем обозначать через . Отображение, индуцируемое отображением на , является точным представлением группы .

Пусть отображение

есть эндоморфизм алгебры , и мы его также можем представить некоторой матрицей Отображение является представлением группы ; ядром его служит пересечение этой группы с центром с алгебры .

Располагая множества А в некотором порядке и относя элементу след алгебры точку пространства имеющую своими координатами коэффициенты мы получим

взаимно однозначное соответствие между Мы можем определить в о топологию требованием, чтобы это соответствие было гомеоморфизмом. Операции, имеющиеся в (сложение, перемножение элементов из , умножение на вещественные числа), очевидно, непрерывны в этой топологии. Кроме того, есть непрерывная функция от Действительно, мы видели, что есть единственное решение уравнения

так как коэффициенты матрицы являются линейными функциями от коэффициентов элемента то коэффициенты обратного элемента выраженные в виде линейных комбинаций базисных элементов являются рациональными функциями от величин имеющими знаменателем Так как на , то есть непрерывная функция от на . Таким образом, , рассматриваемое как подпространство пространства , оказывается топологической группой, а ее непрерывными представлениями.

Заметим, далее, что отображение не только непрерывно, но является также гомеоморфным отображением пространства на некоторое подпространство пространства всех матриц порядка с коэффициентами из Действительно, равенство

показывает, что коэффициенты элемента являются вместе с тем коэффициентами некоторого столбца матрицы Имеем

При неограниченном возрастании правая часть стремится к Поэтому и стремится к некоторому пределу, такому, что

При имеем в частности,

так что Согласно следствию 1 предложения 2 § II главы II, стр. 16, имеем:

Вычислим теперь Отображение

является линейным эндоморфизмом алгебры ; обозначим его через Пусть произвольный элемент из . Положим

где любое вещественное число Имеем:

откуда

Но решение этого дифференциального уравнения (эквивалент-ното системе линейных однородных дифференциальных уравнений для коэффициентов элемента задается формулой

Поэтому имеем:

Пусть - векторное подпространство пространства с, натянутое на векторы Рассмотрим совокупность тех элементов для которых отображает в себя. Эта совокупность, очевидно, является подгруппой группы .

Определение 1. Пусть группа тех элементов для которых и (если нечетно) Компонента элемента (рассматриваемая как топологическая подгруппа группы называется спинорной группой. Мы будем обозначать эту группу через

Пусть любой элемент из о такой, что индуцирует в отображение являющееся эндоморфизмом пространства Пусть

тогда

Но автоморфизм алгебры . Поэтому

с другой стороны,

Сравнивая, получаем:

Это показывает, что выражается по отношению к базису пространства ортогональной матрицей. Поэтому и так как отображение очевидно, непрерывно, то Докажем, что

Обозначим через векторное пространство, натянутое на элементы Размерность этого пространства равна Имеем:

Если поэтому то Но мы доказали, что

псэтому если то для каждого Далее, имеем:

так как то заключаем, что

Аналогично убедимся в том, что, при нечетном ,

Принимая во внимание формулу

заключаем, что если то

Таким образом, если для всех вещественных ; поэтому Пусть где матрица, представляющая (относительно базиса пространства отображение, индуцируемое в эндоморфизмом Так как для каждого то косо-симметрична; обращение в нуль означает, что принадлежит центру алгебры , а тогда так как имеет общим с центром лишь нулевой элемент. Таким образом, есть взаимно однозначное линейное отображение пространства в пространство косо-симметричных матриц порядка С другой стороны, и пространство косо-симметричных матриц порядка имеют одинаковую размерность так последнее пространство целиком покрывается при указанном отображении. Так как то, в силу предложения главы I, стр. содержит некоторую окрестность нейтрального элемента группы Но есть подгруппа группы связна. Поэтому, в силу теоремы 1, стр. 54, заключаем, что

Пусть — отображение, индуцируемое отображением на группе Отображение группы на очевидно, непрерывно. Оно является также открытым. Действительно, пусть -окрестность элемента в . Так как функция ехрлг непрерывна, то в существует окрестность нуля такая, что для всех Но, как мы знаем, если X пробегает все элементы некоторой окрестности нуля

в пространстве косо-симметричных матриц, то соответствующие элементы заполняют окрестность нейтрального элемента в Поэтому содержит окрестность нейтрального элемента группы чем наше утверждение и доказано. Отсюда непосредственно следует, что изоморфна (как топологическая группа) факторгруппе группы по ядру гомоморфизма

Элементы группы отображающиеся посредством в единичную матрицу, принадлежат (где с — центр алгебры ). Но для каждого вещественного числа а имеем

поэтому единственными элементами вида принадлежащими группе являются При

можно написать:

где

так как и — единичный элемент в то откуда легко следует, что

аналогично получим, что

Отсюда вытекает, что есть группа элементов удовлетворяющих условию

это — циклическая группа порядка

При

таким же способом найдем, что

Отсюда следует, что состоит из элементов

Таким образом, в любом из этих случаев группа являющаяся подгруппой группы конечна и, следовательно, дискретна. Поэтому есть накрывающая группа для Легкий подсчет показывает, что

отсюда значит, Так как содержит элемент то группа не может быть односвязной. Но мы знаем, что группа Пуанкарэ для при есть группа порядка Тем самым мы доказали

Предложение 3. Группа Пуанкарэ группы при есть группа порядка 2. Группа при односвязна.