§ I. Полная линейная группа и некоторые ее подгруппы

n-мерное комплексное декартово пространство можно рассматривать как векторное пространство размерности над полем С комплексных чисел. Пусть элемент пространства имеющий -той координатой 1, а остальными координатами — нули. Элементы образуют базис пространства над С.

Задание элементов а— определяет линейный эндоморфизм а пространства О. Этому эндоморфизму соответствует матрица порядка мы будем обозначать ее той же буквой а, что и сам эндоморфизм. Обратно, любой матрице порядка с комплексными коэффициентами соответствует некоторый эндоморфизм пространства

Пусть два эндоморфизма пространства соответствующие матрицы. Тогда есть снова эндоморфизм, и матрица его является произведением матриц

Совокупность всех матриц порядка с коэффициентами из С мы будем обозначать через Каждой матрице мы относим, полагая а — точку пространства с координатами Этим способом мы получаем взаимно однозначное соответствие между Так как топологическое пространство, то мы можем определить в топологию, требуя, чтобы наше соответствие было гомеоморфизмом между

Пусть любое топологическое пространство и отображение его на Пусть коэффициенты матрицы Очевидно, будет непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна каждая из функций

Из этого замечания и формул (1) непосредственно следует, что произведение двух матриц является непрерывной функцией от пары рассматриваемой как точка пространства

Через а, где мы будем обозначать результат транспонирования а, т. е. матрицу где Через а мы будем обозначать матрицу, комплексно сопряженную с а, т. е. матрицу Очевидно, отображения являются гомеоморфными отображениями второго порядка пространства на себя. Для любых двух матрид имеем:

Матрица называется регулярной, если она допускает обращение, т. е. если существует матрица такая, что где в — единичная матрица порядка Для того, чтобы матрица была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель

Если эндоморфизм пространства отображает на себя (но не на какое-нибудь подпространство низшей размерности), то соответствующая матрица регулярна и обладает обратным эндоморфизмом

Для регулярной матрицы имеем:

Если регулярные матрицы, то и регулярна, и

Таким образом, регулярные матрицы образуют группу относительно операции умножения.

Определение 1. Группа всех регулярных матриц порядка с комплексными коэффициентами называется полной линейной группой. Мы будем обозначать ее через

Так как определитель матрицы, очевидно, есть непрерывная функция от матрицы, то образует в открытое множество. Элементы из можно рассматривать как точки топологического пространства, являющегося подпространством пространства

Если регулярная матрица, то коэффициенты обратной матрицы задаются выражениями вида

где полиномы от коэффициентов матрицы Отсюда следует, что отображение пространства на себя непрерывно. Так как это отображение совпадает с обратным к нему, то оно является гомеоморфным отображением второго порядка пространства на себя.

Отображения гомеоморфные отображения пространства на себя. Из них первое, но не второе является одновременно автоморфизмом группы

Через где мы будем обозначать матрицу, определенную формулой

Имеем:

Поэтому отображение является гомеоморфизмом второго порядка пространства и автоморфизмом второго порядка группы

Определение 2. Матраца о, удовлетворяющая условиям называется ортогональной. Совокупность всех ортогональных матриц порядка будет обозначаться через Матрица о, удовлетворяющая лишь условию называется комплексно ортогональной; совокупность всех этих матриц будет обозначаться через Матрица о, удовлетворяющая лишь условию называется унитарной, совокупность всех унитарных матриц будет обозначаться через

Так как отображения непрерывны, то множества и являются замкнутыми подмножествами пространства Поскольку эти

отображения — автоморфизмы, являются подгруппами группы Очевидно, имеем:

Определение 3. Матрицу коэффициенты которой вещественны, т. е. для которой мы будем называть вещественной. Совокупность всех вещественных матриц порядка будет обозначаться через Множество будет обозначаться через

Таким образом, имеем также

Так как определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, то матрицы с определителем, равным единице, образуют подгруппу группы

Определение. Группа всех матриц из с определителем, равным единице, называется специальной линейной группой. Эта группа будет обозначаться через Мы полагаем

Очевидно, являются в подгруппами и замкнутыми подмножествами. Их можно рассматривать как подпространства пространства

Теорема 1. Пространства компактны.

Так как замкнутые подмножества пространства то достаточно доказать компактность Матрица унитарна в том и только в том случае, если где — единичная матрица (действительно, в этом условии содержатся регулярность матрицы и равенство При равенство эквивалентно условиям

Так как левые части этих равенств — непрерывные функции от то есть замкнутое подмножество не только в но и в Кроме того, из условий вытекает, что

Следовательно, коэффициенты матриц равномерно ограничены. Принимая во внимание гомеоморфизм, установленный между мы видим, что гомеоморфна некоторому замкнутому ограниченному подмножеству пространства Тем самым теорема 1 доказана.