§ VI. Аналитические гомоморфизмы

Определение 1. Гомоморфное отображение аналитической группы в аналитическую группу называется аналитическим гомоморфизмом, если оно является аналитическим отображением базисного многообразия группы в базисное многообразие группы

Пусть -аналитический гомоморфизм в — произвольное лево-инвариантное инфинитезимальное преобразование на Обозначим нейтральные элементы групп и соответственно через будет касательным вектором к в Пусть лево-инвариантное инфинитезимальное преобразование на Для которого Мы утверждаем, что тогда

для всякого Действительно, обозначим через левый сдвиг в отображающий на и через левый сдвиг в отображающий на Но. Из того, что -гомоморфизм, непосредственно следует, что Поэтому

и наше утверждение доказано.

Формула (1) означает, что -связано с X (см. § V главы III, стр. 127). Положим

Как мы знаем, для любых двух лево-инвариантных инфинитезимальных преобразований на мы будем иметь:

(см. предложение 2 § V главы III, стр. 128).

Определение 2. Пусть алгебры Ли над одним и тем же полем К. Отображение алгебры называется гомоморфизмом, если а) оно линейно и для любых

Мы видим, что каждому аналитическому гомоморфному отображению группы в соответствует гомоморфное отображение алгебры Ли группы в алгебру Ли группы Посмотрим теперь, верно ли и обратное утверждение.

Пусть гомоморфное отображение алгебры и —подмножество произведения составленное из всех элементов вида Из того, что гомоморфизм, легко следует, что есть подалгебра алгебры Как мы знаем, есть алгебра Ли группы (см. § III, стр. 155). Пусть аналитическая подгруппа группы имеющая своей алгеброй Ли (теорема 1, стр. 160). Пусть проекция произведения на отображение, индуцируемое ею в Отображение очевидно, является аналитическим гомоморфным отображением группы в Кроме того, для всякого отображает на а это показывает, что взаимно однозначно отображает касательное пространство к в точке на

(касательное пространство к в точке Отсюда следует, что мы можем найти кубическую окрестность точки в g (относительно некоторой системы координат на топологически отображающуюся посредством на некоторую окрестность точки предложение главы III, стр. 121). Отображение обратное к индуцируемому отображением на является локальным гомоморфным отображением в Если группа 0 односвязна то это локальное гомоморфное отображение может быть продолжено до гомоморфного отображения всей группы главы стр. 74), которое мы также будем обозначать через Так как совпадает На с тождественным отображением, связно, то есть тождественное отображение всюду, и потому является гомеоморфизмом групп Пусть проекция произведения на тогда есть, очевидно, аналитическое гомоморфное отображение в Для любого лево-инвариантного инфинитезимального преобразования X на мы имеем:

откуда

Докажем теперь, что если аналитическое гомоморфное отображение группы в для которого существует (как мы видели, это имеет место, если односвязна), то оно однозначно определено. Действительно, пусть любое аналитическое гомоморфное отображение группы 9 в такое, что Соответствие Но) изоморфно отображает базисную группу аналитической группы 9 на некоторую подгруппу базисной группы произведения При этом регулярное аналитическое отображение многообразия 9 в Мы можем определить аналитическую группу имеющую своей базисной группой потребовав, чтобы было аналитическим изоморфизмом многообразий и Тождественное отображение многообразия в может быть представлено в виде и потому аналитично и регулярно. Таким образом, мы видим, что есть аналитическая подгруппа группы Отображение есть тождественное отображение группы 9 на себя; отображение

же совпадает с Отсюда следует, что, для всякого имеем:

значит,

Это показывает, что алгебра Ли группы совпадает с построенной выше алгеброй Ли и зависит только от Поэтому также группа 8 однозначно определяется гомоморфизмом и то же верно для

Таким образом, нами доказана

Теорема 2. Пусть аналитические группы, а их алгебры Ли. Аналитическому гомоморфному отображению группы в соответствует гомоморфное отображение алгебры такое, что для любого элемента X из инфинитезимальные преобразования -связаны. Если аналитические гомоморфизмы, для которых то Если сдносвязна, то каждое гомоморфное отображение алгебры может быть представлено в виде где — какое-то аналитическое гомоморфное отображение группы

Ограничение, наложенное на требованием односвязности, не может быть устранено. Действительно, мы видели, что имеют одну и ту же алгебру Ли Но ясно, что тождественное отображение алгебры на себя не может быть получено ни из какого гомоморфного отображения группы поскольку единственным таким отображением является оюбражение всех элементов из в 0.

Однако из нашего доказатель видно, верен, во всяком случае, следующий результат; каждому гомоморфному отображению алгебры соответствует локальное гомоморфное отображение И окрестности нейтрального элемента группы в аналитическое в каждой точке и удовлетворяющее условию для каждого и каждого

В заключение этого параграфа заметим, что гомоморфное отображение аналитической группы в аналитичес группу необходимо всюду аналитично, если оно аналитично в Действительно, и наше утверждение следует из того, что левые сдвиги в и являются аналитическими изоморфными отображениями каждого из этих многообразий на себя.