§ XI. Основная аппроксимационная теорема

Мы уже видели (лемма 1 § VII, стр. 275), что любую непрерывную функцию на компактной группе матриц можно с произвольной точностью аппроксимировать функцией, принадлежащей представляющему кольцу о группы Тогда же

мы указали, что этот результат будет верен и для произвольных компактных групп Ли. Теперь мы докажем этот фундаментальный результат, принадлежащий Петеру (F. Peter) и Вейлю (Н. Weyl).

Теорема 3 (Петера-Вейля). Пусть - компактная группа Ли и -непрерывная функция на Каково бы ни было число в представляющем кольце группы существует функция такая, что

Обозначим пространство всах непрерывных комплексных функций на через Так как группа компактна, то каждая функция ограничена. Введем для максимума абсолютного значения функции обозначение Очевидно,

Мы можем рассматривать как метрическое пространство, в котором расстоянием двух элементов служит Подмножество пространства называется ограниченным, если существует число А такое, что для всех

Колебанием функции на подмножестве группы называется точная верхняя грань чисел для всех

Подмножество пространства называется множеством равностепенно непрерывных функций, если для каждого числа существует окрестность нейтрального элемента группы такая, что для любой функции из и любого элемента группы колебание на множестве не превосходит а.

Лемма 1. Пусть ограниченное множество равностепенно непрерывных функций и а — какое-нибудь положительное число. Если подмножество множества обладает тем свойством, что для всех пар различных его элементов, то оно конечно.

Пусть А — число, такое, что для всех Пусть какой-нибудь фиксированный элемент из Множество значений (для всех содержится в компактной области плоскости комплексного переменного определенной неравенством Отсюда непосредственно следует, что в существует конечное подмножество

обладающее следующим свойством: каждой функции соответствует функция такая, что

Пусть любая точка окрестности имеем:

С другой стороны, каждой паре функций из можно поставить в соответствие точку такую, что Если содержит функций, то не может существовать более пар для которых поскольку в прртивном случае среди этих пар имелась бы одна, скажем такая, что

для одной и той же функции а отсюда следовало бы, что

Так как группа компактна, то она может быть покрыта конечным числом множеств вида Поскольку для каждого существует лишь конечное число таких, что то заключаем, что множество конечно.

Лемма 2. Из каждой последовательности, содержащейся в ограниченном множестве равностепенно непрерывных функций, можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся на

Действительно, пусть любое положительное число. Мы можем построить конечное подмножество множества обладающее следующими свойствами:

1) для любых двух различных функций выполняется неравенство

2) для любой функции из существует функция такая, что

Пусть теперь любая последовательность функций из Обозначим множество всех целых положительных чисел через и определим индукцией по некоторые бесконечные подмножества множества Предположим, что где уже определено. В силу конечности множества существует функция такая, что неравенство

выполняется для бесконечного множества чисел мы определим как множество этих целых чисел. Выберем в каждом множестве по числу Так как при то

откуда

Это показывает, что последовательность равномерно сходится на

Введем теперь в операцию, являющуюся обобщением скалярного умножения, определенного в главы I, стр. 19. Для любых функций из положим:

где под интегралом в правой части понимается инвариантный интеграл, определенный в главы V и нормированный условием

Введенная нами операция, очевидно, обладает следующими свойствами:

1) при фиксированном есть линейная функция от т. е.

3) При имеем

Обозначим число через Для любых вещественных чисел а имеем

где означает взятие вещественной части. Так как это выражение для всех вещественных то

Пусть вещественное число такое, что

Заменяя в нашем неравенстве на получаем неравенство Шварца:

С другой стороны, имеем

откуда следует неравенство Минковского:

Пусть теперь непрерывная комплексная функция, определенная на и удовлетворяющая условию

Для любой функции из обозначим через функцию, определенную формулой

Докажем, что принадлежит пространству Пусть а — любое положительное число. В существует окрестность нейтрального элемента такая, что

Действительно, в противном случае существовали бы три последовательности элементов из такие, что

Так как группа компактна, то последовательности должны содержать подпоследовательности, сходящиеся соответственно к некоторым элементам и и мы имели бы

что невозможно.

Для каждого из имеем

чем и доказана непрерывность функции Кроме того, обозначая через А верхнюю грань значений, принимаемых функцией на имеем также

Этими двумя неравенствами доказана

Лемма 3. Оператор К отображает совокупность всех функций удовлетворяющих неравенству на ограниченное множество равностепенно непрерывных функций.

Оператор К обладает также свойством, выражаемым формулой

совершенно аналогичной формуле, выражающей эрмитовость матрицы. Действительно

Отсюда, в частности, следует, что вещественно для любой функции В самом деле, в силу формулы (3) имеем:

Мы будем говорить, что число с есть «собственное значение» ядра А, если в существует функция такая, что

Любая такая функция называется собственной функцией, принадлежащей значению с. Так как с то заключаем, что каждое собственное значение ядра вещественно. Следующим нашим шагом будет доказательство существования собственных значений.

Из неравенства (2) непосредственно следует, что

Поэтому числа остаются ограниченными, когда пробегает множество функций, для которых Обозначим точную верхнюю грань значений при условии через Ясно, что

для любой функции

Лемма 4. Число служит тонной верхней гранью значений, принимаемых выражением при

Обозначим точную верхнюю грань значений, принимаемых выражением при через с. Так как при мы имеем

то с Докажем теперь справедливость обратного неравенства. Очевидно,

Пусть две функции такие, что Имеем

откуда

Если то, положив получаем:

Последнее неравенство справедливо также при Тем самым сопоставляя это с полученным выше обратным неравенством, видим, что

Лемма 5. По крайней мере одно чисел является собственным значением ядра существует последовательность функций такая, что стремится к одному из чисел Положим

Заменяя, в случае необходимости, последовательность надлежащей ее подпоследовательностью, мы можем без ограни чения общности предполагать, что последовательность равномерно сходится на к некоторой функции очевидно, принадлежащей пространству (см. леммы 2 и 3). Поэтому

Заметим теперь, что операция непрерывна относительно метрики, определенной посредством Действительно, имеем

откуда

Так как вещественно, то

и правая часть при неограниченном возрастании стремится к Это показывает, что откуда если, конечно, с С другой стороны,

и потому правая часть нашей формулы что стремится к нулю при Это показывает, что

и потому также

Так как то, в силу неравенства (2),

и, значит,

Поэтому

откуда

Тем самым лемма 5 при доказана. Если же то для каждого и лемма 5 в этом случае тривиальна.

Мы будем говорить, что две функции из ортогональны друг к другу, если

Пусть совокупность всех собственных функций ядра принадлежащих собственным значениям можно найти подмножество обладающее следующими свойствами:

a) если принадлежат то ;

b) для каждого ;

c) — максимальное множество со свойствами а) и (т. е. его нельзя включить ни в какое более широкое подмножество из которое обладало бы указанными свойствами)

Лемма 6. Пусть а — положительное число. Существует лишь конечное число функций из принадлежащих собственным значениям, превосходящим по абсолютной величине а.

Действительно, пусть функции из такие, что

Имеем:

откуда

Но тогда, как мы знаем,

и лемма 6 следует из лемм 1 и 3.

Лемма 7. Любая функция из является линейной комбинацией конечного числа функций из

Пусть с — собственное значение, которому принадлежит Функции из принадлежащие этому собственному значению. Положим

Так как то также

Кроме того, ортогональна к функциям Пусть любая функцил из отличная от тогда принадлежит собственному значению Имеем:

откуда

Мы видим, что ортогональна к каждой функции из Если бы была отлична от нуля, то множество, составленное из и функции обладало бы сформулированными выше свойствами а) и что, по условию с), невозможно. Поэтому и лемма 7 доказана.

Из леммы 6 следует, что есть счетное множество. Расположим его элементы в последовательность или смотря по тому, бесконечно ли или конечно), и обозначим через собственное значение, которому принадлежит Заметим, что для каждой конечной линейной комбинации 2 Функций из имеет место равенство

Лемма 8 (неравенство Бесселя). Для любой функции из ряд сходится и его сумма

Положим

где любое положительное целое число, если бесконечно, либо не превосходит числа элементов множества если это множество конечно. Имеем:

откуда легко следует, что

что и доказывает лемму 8.

Лемма 9. Для каждой функции ряд

равномерно сходится на к функции

Действительно, принимая во внимание равенство (3) и вещественность собственных значений с, имеем:

откуда, применяя неравенство (2), получаем:

Но из леммы 8 следует, что правая часть стремится к нулю, когда (в случае бесконечности множества неограниченно возрастают. Поэтому заданный ряд равномерно сходится. Остается доказать, что его сумма равна

Положим

Так как все вещественны, то

Для любой функции 6 из имеем:

оператор определен по ядру так же, как К был определен по ядру Отсюда

В частности, для собственной функции оператора принадлежащей собственному значению имеем

так что служит также собственной функцией оператора К, принадлежащей тому же собственному значению Следовательно, есть линейная комбинация функций для которых Имеем:

откуда

Пусть а — положительное число. Если больше всех индексов для которых а (таких индексов существует лишь конечное число), то заключаем, что откуда, в силу леммы 5, Это показывает, что

(если бесконечно; если же конечно, то для равного числу элементов множества Но

следовательно,

чем доказательство леммы 9 и завершено.

Лемма 10. Если функция имеет вид где непрерывная функция на удовлетворяющая условию

то каждая собственная функция ядрл принадлежащая собственному значению с является представляющей функцией на .

Для любой функции из и любого будем обозначать через функцию, определенную, формулой.

Пусть — собственная функция ядра принадлежащая собственному значению с В силу инвариантности нашего интегрирования имеем:

Поэтому и есть собственная функция, принадлежащая тому же собственному значению с. Мы можем без ограничения общности считать, что функциями из множества принадлежащими собственному значению с, служат По лемме 7 имеем:

Пусть матрица Так как то

С другой стороны, каждая будучи непрерывной функцией на компактной группе также равномерно непрерывна на отсюда следует, что для каждого существует окрестность кейтрального элемента такая, что

Поэтому

Таким образом, отображение группы в совокупт ность матриц порядка есть непрерывное представление этой группы, и функции являются представляющими функциями. А так как

то и каждая функция является представляющей функцией. Тем самым лемма 10 доказана.

Лемма 11. Для любой непрерывной функции на удовлетворяющей условию

и любого положительного числа а существует представляющая функция такая, что

Пусть - оператор, соответствующей функции

Выберем окрестность V нейтрального элемента так, чтобы для всех выполнялось неравенство

На можно построить непрерывную функцию принимающую вещественные неотрицательные значения, отличною нуля при и равную нулю для всех лежащих вне Число

положим откуда Тогда

Применяя леммы 9 и 10, мы видим, что существует представляющая функция такая, что

Тогда

и лемма 11 доказана.

Пусть теперь -произвольная непрерывная функция на О. Положим

откуда

Так как и можно с произвольной точностью аппроксимировать представляющими функциями, то то же верно и для Тем самым теорема 3 доказана.