§ V. Инфинитезимальные преобразования

Определение 1. Пусть X) — многообразие. Векторным полем X на X (а также инфинитезимальным преобразованием) называется отображение, относящее каждой точке касательный вектор к X в этой точке.

Пусть -любая функция, определенная и непрерывная в точках некоторого открытого множества из Положив

мы получим функцию, определенную на которую будем обозначать через Если для каждой аналитической функции функция также аналитична, то мы будем говорить, что X есть аналитическое инфинитезимальное преобразование.

Если открытое множество из на котором существует система координат (общая для всего то всегда существует аналитическое инфинитезимальное преобразование, определенное на Действительно, пусть - любая функция, аналитическая в какой-нибудь точке мы можем выразить окрестности этой точки в виде функции от Положив

мы получим касательный вектор в и отображение очевидно, будет аналитическим инфинитезимальным преобразованием, определенным на Положив, вообще,

мы получим аналитических инфинитезимальных преобразований, линейно независимых в каждой точке из Любое другое инфинитезимальное преобразование X, заданное на можно записать в виде

где функции, определенные на При этом, если X аналитично, то и фунчции аналитичны, так как

Обратно, если какие-нибудь функции, определенные и аналитичные на то, очевидно, есть аналогическое инфинитезимальное преобразование на Так как

то мы будем называть

символом инфинитезимального преобразования

Пусть —аналитические инфинитезимальные преобразования, определенные на многообразии Операция , вообще говоря, не является инфинитезимальным преобразованием. Так, например, если а определены формулами

то но отображение (где р - точка из не является касательным вектором к

Однако, операция

всегда есть аналитическое инфинитезимальное преобразование; доказательство состоит в (опускаемой нами) прямой проверке того, что удовлетворяет условиям 1) и 2) определения касательного вектора. Если система координат в точке то в окрестности этой точки мы можем записать соответственно, в виде

Тогда

Это выражение для доставляет второе доказательство того, что есть аналитическое инфинитезимальное преобразование.

Определение 2. Пусть аналитические инфинитезимальные преобразования на Инфинитезимальное преобразование мы будем обозначать через

Операцию, относящую каждой паре аналитических инфинитезимальных преобразований ( инфинитезимальное преобразование мы будем рассматривать как закон композиции для инфинитезимальных преобразований.

Непосредственно ясно, что если -инфинитезимальное преобразование, то для любого числа а также есть инфинитезимальное преобразование, и что вместе также является инфинитезймальным преобразованием.

Наша композиция дистрибутивна относительно сложения:

инфинитезимальные преобразования). Однако она не ассоциативна: вообще говоря,

Легко доказать, для любых аналитических инфинитезимальных преобразований имеют место тождества

Второе из них называется тождеством Якоби. Первое дает

откуда

Пусть аналитическое отображение многообразия в некоторое многообразие Пусть X — инфинитезимальное преобразование на и инфинитезимальное преобразование на Мы будем говорить, что - связаны, если

для каждой точки

Если всюду регулярно, то на может существовать, самое большее, одно инфинитезимальное преобразование -связанное с заданным инфинитезимальным преобразованием на так как тогда полностью определяется своим образом при отображении

Пусть касательное пространство к X) в точке Его образ при отображении является некоторым подпространством касательного пространства к в точке Если инфинитезимальное преобразование на -связано с инфинитезимальным преобразованием X на то необходимо для каждого

Предложение 1. Пусть всюду регулярное отображение многообразия X) в многообразие Пусть касательное пространство к X в точке Если -любое аналитическое инфинитезимальное преобразование на такое, что для каждой точки то существует, и притом только одно, аналитическое инфинитезимальное преобразование X на X), -связанное с У.

При наших предположениях, для каждого можно найти (и притом только один) элемент такой, что Нужно доказать, что соответствие есть аналитическое инфинитезимальное преобразование. Из предложения стр. 119, следует, что в точке на можно найти систему координат такую, что будет системой координат в на размерности многообразий Для точек

принадлежащих достаточно малой окрестности точки в равенство дает:

т. е. функция в окрестности точки совпадает с Так как аналитично на то функция аналитична в поэтому функция значит, также аналитична в а это и доказывает, что X аналитично в

Предложение 2. Пусть -любое аналитическое отображение многообразия X) в многообразие Пусть, далее, аналитические инфинитезимальные преобразования на X), аналитические инфинитезимальные преобразования на Если при этом -связано с то будет -связано с

Пусть точка из функция на аналитичная в точке -связанность преобразований может быть выражена формулой

или

справедливой для любого из надлежащей окрестности точки в 4). Поэтому

Аналогичную формулу получим, обменяв местами индексы 1 и 2. Произведя вычитание, придем тогда к формуле

откуда

чем предложение 2 и доказано.