§ IV. Компоненты топологической группы

Предложение 1. Компонента нейтрального элемента топологической группы является замкнутой инвариантной подгруппой группы Действительно, пусть К—эта компонента и элемент из К. Так как правый сдвиг, порождаемый элементом является гомеоморфным отображением пространства на себя, то множество связно. Но оно содержит следовательно, значит, а это показывает, что К есть подгруппа группы Пусть теперь любой элемент из соответствие является гомеоморфным отображением пространства на себя. Следовательно, связно; а так как то чем и доказано, что подгруппа -инвариантная.

Факторгруппа называется группой компонент группы ее элементы — смежные классы по модулю так же как и К являются компонентами. Если группа локально связна (т. е. существует связная окрестность V элемента то группа дискретна. Действительно, образ окрестности V при естественном отображении на является точкой (поскольку и вместе с тем окрестностью нейтрального элемента в (поскольку естественное отображение — открытое).

Теорема 1. В связной группе всякая окрестность нейтрального элемента представляет собой систему образующих этой группы.

Действительно, пусть V — какая-нибудь окрестность нейтрального элемента в связной группе и подгруппа, порожденная элементами из Для всякого имеем также поэтому открытое множество. Но любая

открытая подгруппа топологической группы одновременно замкнута, так как каждый смежный класс по модулю есть открытое множество, а И является дополнением в к объединению всех смежных классов, отличных от Таким образом, является одновременно открытым и замкнутым множеством в Так как связна, а не пусто, то заключаем, что

Замечание. Более обще, имеет место следующий результат. Пусть топологическая группа, -связная окрестность нейтрального элемента -любая его окрестность. Тогда всякий элемент может быть записан в виде где При доказательстве этого утверждения мы можем без ограничения общности считать, что (в противном случае мы заменили бы меньшей окрестностью, уже удовлетворяющей этим условиям). Пусть совокупность всех элементов из V, которые можно записать в указанном выше виде. Если то, очевидно, также поэтому относительно открытое в Пусть точка из V, принадлежащая замыканию множества тогда имеет с общую точку Так как значит, также относительно замкнуто в Поскольку связно, имеем чем наше утверждение и доказано.

Предложение 2. Пусть топологическая группа, замкнутая ее подгруппа. Если группа и фактор-пространство связны, то и связна.

Действительно, предположим, что где непустые открытые множества. Естественное отображение на относит множествам открытые подмножества пространства причем Так как связно, то отсюда следует, что содержит по крайней мере один элемент из Это означает, что пересекается как с так и с При этом Но, с другой стороны, гомеоморфно и потому связно. Следовательно, имеют по крайней мере одну общую точку, принадлежащую Тем самым предложение 2 доказано.

Лемма 1. Сфера связна для всякого

Действительно, есть множество точек пространства удовлетворяющих уравнению

Пусть множество, состоящее из точек сферы для которых Относя точке точку мы, очевидно, получим гомеоморфное отображение множества на множество точек удовлетворяющих неравенству Так как множество связно, то и связно. Аналогично убедимся в связности нижней полусферы определяемой условием Так как 1, то множество непусто. Отсюда следует, что и вся сфера связна.

Лемма 2. Группы связны. Группы содержат лишь нейтральный элемент. Группа есть мультипликативная группа комплексных чисел, имеющих абсолютную величину 1; она гомеоморфна окружности 51 и потому связна. Группа есть мультипликативная группа кватернионов с нормой 1. Такой кватернион записывается в виде где Легко проверить, что гомеоморфна сфере 53 и потому связна.

Предложение 3. Группы связны для всех

Это доказывается индукцией по , с использованием предложения 2, лемм 1 и 2 и предложений 2а, 3, 4 § III, стр. 52.

С другой стороны, группа имеет точно две связные компоненты. Действительно, наряду с матрицами с определителем 1 она содержит и матрицы с определителем —1, например

Так как определитель есть непрерывная функция матрицы и не может обращаться в нуль на то не может быть связной. С другой стороны, содержит как инвариантную подгруппу индекса 2. Поэтому имеет точно две связные компоненты, одной из которых является а другой — совокупность всех ортогональных матриц с определителем — 1,