§ VII. Односвязные пространства. Принцип монодромии

В согласии с общим понятием изоморфизма, мы будем говорить, что два накрывающих пространства одного и того же пространства изоморфны, если существует гомеоморфное отображение пространства на такое, что

Определение 1. Пространство называется односвязным, если оно связно и локально связно и если каждое его накрывающее пространство изоморфно тривиальному накрывающему пространству где тождественное отображение.

Слово «каждое», употребляемое в связи с классом всех накрывающих пространств пространства могло бы возбудить подозрения у логически вышколенного читателя, поскольку понятие накрывающих пространств заключает в себе, в частности, понятие всех множеств с заданным кардинальным числом элементов. Мы обойдем эту трудность, показав, что для заданного можно логически законным путем построить совокупность накрывающих пространств, обладающую тем свойством, что любое накрывающее пространство для изоморфно одному из пространств этой совокупности. Тогда мы сможем

ограничить область применения слова каждое в определении 1 лишь теми накрывающими пространствами, которые являются элементами из

Пусть точка пространства Обозначим через множество всех конечных последовательностей

составленных поочередно из точек и открытых множеств и удовлетворяющих следующим условиям: 1) первым членом в служит принадлежат

3) последним членом в является точка. Пусть какое-нибудь накрывающее пространство пространства докажем, что кардинальное число множества не превосходит кардинального числа множества Пусть подмножество множества образованное последовательностями обладающими тем свойством, что каждое ровно накрыто пространством относительно Пусть какая-нибудь фиксированная точка из такая, что, Для каждого определим точки следующей индукцией по если уже определена, то —1 через обозначим ее компоненту в а через точку из отображающуюся посредством (так как ровно накрыто, то содержит одну и только одну такую точку). Обозначим точку через есть отображение множества в Докажем, что это — отображение на Пусть произвольная точка из точка принадлежит по крайней мере одному открытому множеству ровно накрытому пространством (лемма стр. 63), и компонента точки является открытым множеством (предложение стр. 61). Если пересекает то она целиком содержится в Действительно, пусть содержит точку с

Точка принадлежит и последовательность

для любой точки принадлежит ; тогда точка принадлежит чем наше утверждение и доказано.

Отсюда следует, что каждая точка из принадлежащая замыканию множества является внутренней для поэтому множество -одновременно открытое и замкнутое в значит, Отсюда следует, что кардинальное число множества не превосходит кардинального числа множества и значит, множества

Говорить о совокупности всех топологических пространств, точки которых являются элементами из вполне законно (такое пространство определяется заданием некоторого множества А из и некоторого семейства подмножеств этого множества). Мы вправе поэтому построить и совокупность всех пар, образованных каждая пространством точки которого принадлежат и отображением этого пространства на Наконец, мы можем выделить из этих пар те, которые служат называющими пространствами для Этим путем мы получаем конструируемое множество накрывающих пространств для Из сказанного выше следует, что зад нное накрывающее пространство пространства изоморфно одному из членов множества

Следующая лемма иногда оказывается полезной для доказательства односвязности пространства.

Лемма 1. Пусть какое-нибудь накрывающее пространство пространства . Если содержит открытое множество взаимно однозначно отображающееся на посредством то есть гомеоморфизм пространств

Так как -непрерывное и открытое отображение, то отображение, индуцируемое им на А, является гомеоморфным отображением А на . Поэтому нужно только доказать, что это, в свою очередь, будет установлено, если мы покажем, что А замкнуто в Пусть точка из принадлежащая замыканию множества А, и пусть -окрестность ее

образа ровно накрытая пространством Обозначим через V компоненту точки Как V, так и множество топологически отображаются на

С другой стороны, V есть окрестность точки (лемма 1 § VI, стр. 62) и потому пересекается с А. Следовательно, Так как V связно, то и так как отображает V взаимно однозначно, то Тем самым лемма 1 доказана.

Предложение 1. Если односвязные пространства, то их произведение односвязно.

Действительно, очевидно, связно и локально связно. Пусть накрывающее пространство пространства Будем называть горизонтальной нитью всякую компоненту множества вида где и вертикальной нитью — всякую компоненту множества вида где Из леммы стр. 64, непосредственно следует, что топологически отображает каждую горизонтальную нить на (и каждую вертикальную нить — на 932) Пусть какая-нибудь фиксированная вертикальная нить. Обозначим через А объединение всех горизонтальных нитей, пересекающихся с Очевидно, взаимно однозначно отображает множество А на Предложение 1 будет следовать из леммы 1, если мы сможем доказать, что А — открытое множество в

Пусть какая-нибудь горизонтальная нить, содержащаяся в и - совокупность внутренних точек множества принадлежащих Множество -относительно открытое в Если мы сможем доказать, что замкнуто и не пусто, то отсюда будет следовать, что значит, А — открытое множество.

Пусть произвольная точка из и можно найти связные окрестности точек такие, что будет ровно накрыто пространством

Пусть компонента точки Для каждой точки положим

топологически отображает на на Отсюда следует, что содержится в некоторой горизонтальной нити в некоторой вертикальной нити Нити имеют общей точку из отображающуюся посредством на . С другой стороны, имеем:

Предположим сперва, что есть точка, в которой 9 пересекает . В этом случае совпадает с для всех Из формулы (1) следует тогда, что значит, таким образом, не пусто.

Предположим теперь, что принадлежит замыканию множества Тогда имеет с общую точку Положим . В можно найти окрестность V точки такую, что содержится в А. Для любой точки горизонтальная нить имеет с А непустое пересечение, и потому Далее, множество есть объединение множеств для всех значит, Так как окрестность точки то следовательно, замкнутое множество. Тем самым предложение 1 доказано.

Теперь мы докажем основное свойство односвязных пространств

Теорема 2 (принцип монодромии). Пусть односвязное пространство. Предположим, что каждому можно отнести непустое множество абстрактное множество, не связанное, с и что, кроме того, каждой точке некоторого определенного множества из

можно отнести отображение множества на так, чтобы удовлетворялись следующие условия:

1) D есть связная окрестность диагонали в (т. е. совокупности всех пар );

2) каждое является взаимно однозначным отображением на тождественное отображение;

3) если все определены, Тогда существует такое отображение относящее каждому элемент что во всех тех случаях, когда определено. того, можно выбрать так, чтобы оно относило заданной точке любой заранее предписанный элемент из тогда однозначно определено.

Пусть объединение множеств для всех

Введем в топологию.

Пусть семейство подмножеств из удовлетворяющих следующему условию: для каждой точки существует в такая окрестность точки что для всех Ясно, что само V и пустое множество принадлежат семейству и что объединение любых множеств из равно как и пересечение любых двух множеств из снова принадлежат

Пусть отображение множества V на задаваемое формулой Из определения семейства непосредственно вытекают следующие утверждения: если -открытое множество в то принадлежит ; если то открытое множество.

Пусть открытое множество из такое, что Пусть точка из элемент из Обозначим через множество, образованное точками для Это множество принадлежит семейству Действительно, пусть точка из тогда для любой точки из отображения определены, и

чем наше утверждение и доказано.

Пусть и две различные точки из Если то мы можем найти в открытые множества такие, что Имеем тогда:

Предположим теперь, что так что Если тогда открытое множество, содержащее и такое, что то множества принадлежат семейству и не пересекаются, поскольку отображения взаимно однозначны.

Из всего сказанного вытекает, что 41 может быть принято за семейство открытых множеств в Пусть полученное таким образом топологическое пространство. Очевидно, со является непрерывным открытым отображением этого пространства на

Каждая точка обладает связной открытой окрестностью для которой Множество является объединением множеств для всех (ибо каждое отображает на Эти множества — открытые в взаимно однозначно отображает каждое из них на Отсюда следует, что со топологически отображает каждое на Так как связно, то множества являются компонентами множества ровно накрыто пространством относительно

Пусть — компонента точки отображение, индуцируемое отображением на В силу леммы 4 § VI, стр. 63, является накрывающим пространством для Так как односвязно, то гомеоморфизм. Определим отображение формулой

Пусть совокупность всех пар удовлетворяющих условию

и — произвольная пара из Мы можем найти такие открытые связные окрестности точек что

Предположим, что имеют общий элемент так что

Так как множество будучи связным, содержится в , то

Далее, отображения определены, и мы имеем:

С другой стороны, то же рассуждение, которое привело к (1), дает:

Так как есть взаимно однозначное отображение на » то из (2) и (3) следует, что

т. е. Таким образом, есть относительно открытое и замкнутое множество в откуда

Остается доказать лишь единственность отображения Пусть -любое отображение, удовлетворяющее тем же условиям, что и (включая Пусть совокупность всех точек для которых как мы уже знаем, А не пусто. Пусть произвольная точка из окрестность, такая, что Предположим, что имеют общую точку тогда

и, значит, Отсюда непосредственно следует, что А — одновременно открытое и замкнутое в следовательно, Теорема 2 доказана.

Определение 2. Пусть топологическая группа. Локальным гомоморфным отображением группы в группу называется отображение окрестности V нейтрального элемента из удовлетворяющее условию для всех и принадлежащих вместе со своим произведением окрестности

Теорема 3. Пусть односвязная топологическая группа и локальное гомоморфное отображение ее в группу Если множество, на котором определено, связно, то можно продолжить до гомоморфного отображения всей группы

Пусть V — множество, на котором определено Обозначим через подмножество произведения составленное из тех пар для которых Ясно, что является окрестностью диагонали в При этом можно представить как объединение множеств так как каждое из этих множеств связно (и пересекает диагональ произведения также являющуюся связной), то заключаем, что связно.

Для каждой пары обозначим через отображение группы на себя. Если все три пары принадлежат то имеем:

Поэтому мы можем применить теорему 2 и получим отображение группы такое, что будет нейтральным элементом из и

для любых элементов удовлетворяющих условию

Полагая видим, что совпадает на V с Далее, если

V, то имеет место формула

Но в силу связности группы каждый элемент может быть записан в виде где (это легко следует из теоремы 1, стр. 54, если заметить, что V есть окрестность элемента s). По индукции заключаем, что

Полагая получаем

откуда

Таким образом, есть гомоморфизм, и теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть односвязная топологическая группа. Всякая связная топологическая группа локально изоморфная группе изоморфна факторгруппе группы по некоторой дискретной подгруппе центра этой группы.

Пусть локальное изоморфное отображение связной окрестности нейтрального элемента группы можно тогда продолжить до гомоморфного отображения всей группы Гомоморфизм непрерывен в нейтральном элементе и потому непрерывен всюду (см. предложение 5 § III, стр. 53 — 54). Множество является подгруппой группы и содержит некоторую окрестность нейтрального элемента этой группы; так как связна, то отсюда следует, что (см. теорему 1, стр. 54). Отображая окрестность точки на окрестность точки отображает любое открытое множество на открытое множество» Отсюда легко следует, что изоморфна (как топологическая группа) факторгруппе где -ядро гомоморфизма Так как в имеется окрестность элемента пересечение которой с К содержит только то К дискретно. Наконец, то, что К принадлежит центру группы вытекает из следующего общего факта:

Предложение 2. Всякая дискретная инвариантная подгруппа К связной топологической группы принадлежит центру этой группы.

Действительно, пусть -произвольный элемент из окрестность этого элемента в такая, что и -окрестность нейтрального элемента такая, что Так как -инвариантная подгруппа, то для всех Элементы группы перестановочные образуют в подгруппу которая, как мы только что видели, содержит Так как связна, то имеем и предложение 2 доказано.