Действительно, имеем
откуда
Предложение 2. Если
характеристические корни матрицы а, каждый взятый столько раз, какова его кратность, то
имеет характеристические корни
Мы докажем это индукцией по
Предложение очевидно при
поскольку тогда а — комплексное число. Пусть теперь
и наше предложение верно для матриц порядка
Пусть
характеристический корень матрицы
тогда
существует элемент
такой, что оса
Пусть
точка с координатами
Так как
то существует регулярная матрица
такая, что
Тогда
иначе говоря,
где звездочки обозначают какие-то комплексные числа, а от есть некоторая матрица порядка
Имеем:
и потому
Если
характеристические корни матрицы
то а, а вместе с ней и
будет иметь характеристические корни
Так как, по условию, наше предложение верно
Следствие. Соответствие
где
- вещественная переменная, а
- фиксированная матрица, непрерывное гомоморфное отображение аддитивной группы вещественных чисел в
Для любой матрицы а, очевидно, имеем:
Из следствия предложения 3 вытекает также, что
Предложение 4. В
существует окрестность
нулевой матрицы 0, топологически отображающаяся при отображении
некоторую окрестность единичной матрицы
Матрицу а
мы представляем точкой пространства О, имеющей своими координатами коэффициенты
этой матрицы (располагаемые в каком-нибудь фиксированном порядке). Из равномерной сходимости ряда
следует, что коэффициенты
матрицы
а являются целыми аналитическими функциями
от коэффициентов матрицы
Членами нулевого и первого порядков в ряде Маклорена функции
служат, очевидно,
Отсюда непосредственно следует, что якобиан
функций
относительно
их аргументов при
равен 1. Но из теоремы о неявных функциях следует тогда, что отображение пространства
на себя, относящее точке с координатами
точку с координатами
топологически отображает некоторую окрестность начала на окрестность точки с координатами
Отсюда непосредственно и вытекает предложение 4.
Определение 2. Матрица
называется кососимметричной, если
и ко
эрмитовой, если
Через
мы будем обозначать совокупность всех кососимметричных матриц, через
совокупность всех косоэрмитовых матриц, через
совокупность всех матриц с нулевым следом и через
совокупность всех вещественных матриц.
Лемма 1. В
можно найти окрестность
нулевой матрицы 0, удовлетворяющую следующим условиям: 1)
при
отображении
топологически отображается на некоторую окрестность единичной матрицы
; 2) любой матрицы
меньше по абсолютной величине, чем
Пусть
-окрестность нулевой матрицы
, удовлетворяющая первым двум условиям; обозначим через
совокупность всех матриц
, для которых
и аналогично определим
Тогда множество
будет удовлетворять всем требованиям леммы 1.
Предложение 5, Пусть
окрестность нулевой матрицы
в
удовлетворяющая требованиям леммы 1. Тогда множества
при отображении
топологически отображаются на окрестности единичной матрицы
соответственно в группах
Как мы знаем, отображение
является топологическим для каждого подмножества из
Если
то
по следствию 1 предложения 2. Если
то
что устанавливает комплексную ортогональность матрицы
Аналогично докажем, что если
то
унитарна. Обратно, если
то из условий
следует
откуда
Если
то имеем
откуда
Аналогично убедимся в том, что если
унитарна, то
Если а вещественна, то и
вещественна; обратно, если
такова, что
вещественна, то имеем
откуда
Предложение 5 непосредственно следует из этих фактов.
Множества
можно рассматривать как векторные пространства над полем
вещественных чисел; как таковые, они имеют, соответственно, размерности
Таким образом, мы доказали:
Предложение 6. В каждой из групп
имеется окрестность нейтрального элемента, гомеоморфнач открытому множеству вещественного декартова пространства надлежащей размерности. Этими размерностями служат: