§ II. Экспоненциал матрицы

Пусть а — любая матрица порядка и какая-нибудь верхняя граница для абсолютных значений ее коэффициентов

Пусть коэффициенты матрицы мы полагаем где единичная матрица). Мы утверждаем, что

Для это верно. Предположим, что наше неравенство выполняется для некоторого целого 0; тогда

т. е. то же неравенство выполняется и для

Отсюда следует, что каждый из рядов равномерно сходится на множестве всех тех матриц а, для которых Другими словами, ряд

всегда сходится, и притом равномерно, когда а остается в ограниченной области пространства

Определение 1. Сумму ряда будем обозначить через и называть экспоненциалом матрицы

Итак, функция определена и непрерывна на и отображает в себя.

Предложение 1. Если — регулярная матрица порядка то

Действительно, имеем откуда

Предложение 2. Если характеристические корни матрицы а, каждый взятый столько раз, какова его кратность, то имеет характеристические корни

Мы докажем это индукцией по Предложение очевидно при поскольку тогда а — комплексное число. Пусть теперь и наше предложение верно для матриц порядка

Пусть характеристический корень матрицы тогда существует элемент такой, что оса Пусть точка с координатами Так как то существует регулярная матрица такая, что Тогда иначе говоря,

где звездочки обозначают какие-то комплексные числа, а от есть некоторая матрица порядка Имеем:

и потому

Если характеристические корни матрицы то а, а вместе с ней и будет иметь характеристические корни Так как, по условию, наше предложение верно

для матриц порядка то характеристическими корнями матрицы а служат имеет характеристические корни Но это — также характеристические корни матрицы предложение 1), а потому и матрицы Тем самым предложение 2 доказано.

Следствие 1. Определитель матрицы а равен Это сразу следует из того, что след и определитель матрицы являются соответственно суммой и произведением характеристических корней.

Следствие 2. Экспоненциал любой матрицы является регулярной матрицей.

Предложение 3. Если матрицы перестановочны если то

Так как перестановочны, то мы можем развернуть по биномиальной формуле:

Поэтому, для любого целого имеем:

где есть сумма распространенная на все комбинации удовлетворяющие условиям Число этих комбинаций есть С другой стороны, если какая-нибудь верхняя граница для коэффициентов матриц то коэффициенты произведения не превосходят где некоторое положительное число. Отсюда следует, что коэффициенты матрицы по абсолютной величине меньше чем так что стремится к нулю при неограниченном возрастании Формула, подлежащая доказательству, непосредственно следует отсюда.

Следствие. Соответствие где - вещественная переменная, а - фиксированная матрица, непрерывное гомоморфное отображение аддитивной группы вещественных чисел в

Для любой матрицы а, очевидно, имеем:

Из следствия предложения 3 вытекает также, что

Предложение 4. В существует окрестность нулевой матрицы 0, топологически отображающаяся при отображении некоторую окрестность единичной матрицы

Матрицу а мы представляем точкой пространства О, имеющей своими координатами коэффициенты этой матрицы (располагаемые в каком-нибудь фиксированном порядке). Из равномерной сходимости ряда следует, что коэффициенты матрицы а являются целыми аналитическими функциями от коэффициентов матрицы

Членами нулевого и первого порядков в ряде Маклорена функции служат, очевидно, Отсюда непосредственно следует, что якобиан функций относительно их аргументов при равен 1. Но из теоремы о неявных функциях следует тогда, что отображение пространства на себя, относящее точке с координатами точку с координатами топологически отображает некоторую окрестность начала на окрестность точки с координатами Отсюда непосредственно и вытекает предложение 4.

Определение 2. Матрица называется кососимметричной, если и ко эрмитовой, если

Через мы будем обозначать совокупность всех кососимметричных матриц, через совокупность всех косоэрмитовых матриц, через совокупность всех матриц с нулевым следом и через совокупность всех вещественных матриц.

Лемма 1. В можно найти окрестность нулевой матрицы 0, удовлетворяющую следующим условиям: 1) при

отображении топологически отображается на некоторую окрестность единичной матрицы ; 2) любой матрицы меньше по абсолютной величине, чем

Пусть -окрестность нулевой матрицы , удовлетворяющая первым двум условиям; обозначим через совокупность всех матриц , для которых и аналогично определим Тогда множество

будет удовлетворять всем требованиям леммы 1.

Предложение 5, Пусть окрестность нулевой матрицы в удовлетворяющая требованиям леммы 1. Тогда множества при отображении топологически отображаются на окрестности единичной матрицы соответственно в группах

Как мы знаем, отображение является топологическим для каждого подмножества из Если то по следствию 1 предложения 2. Если то

что устанавливает комплексную ортогональность матрицы Аналогично докажем, что если то унитарна. Обратно, если то из условий следует откуда Если то имеем откуда Аналогично убедимся в том, что если унитарна, то Если а вещественна, то и вещественна; обратно, если такова, что вещественна, то имеем откуда Предложение 5 непосредственно следует из этих фактов.

Множества можно рассматривать как векторные пространства над полем вещественных чисел; как таковые, они имеют, соответственно, размерности

Таким образом, мы доказали:

Предложение 6. В каждой из групп имеется окрестность нейтрального элемента, гомеоморфнач открытому множеству вещественного декартова пространства надлежащей размерности. Этими размерностями служат: