§ X. Группы Пуанкарэ некоторых пространств

Предложение 1. Аддитивная группа вещественных чисел односвязна.

Пусть накрывающая группа для можно найти окрестность V нейтрального элемента, которую топологически отображает на некоторый интервал из Так как -гомоморфизм, то элементы из перестановочны друг с другом. Отсюда следует, что коммутативна; мы будем записывать закон композиции в аддитивно. Пусть элемент из такой, что мы можем записать в виде

Полагая имеем Пусть целое число, такое, что

и пусть элемент из V, отображающийся посредством на Так как локальный изоморфизм, то

откуда (где нейтральный элемент из Снова в силу того, что -локальный изоморфизм, имеем откуда

Это показывает, что взаимно однозначно. Тем сдмым предположение 1 доказано.

Лемма 1. Пусть накрывающее пространство пространства ; В — замкнутые локально связные множества из каждое из которых ровно накрыто пространством относительно Если тогда связно и не пусто, то и множество ровно накрыто пространством

Пусть компоненты множества пробегает некоторое множество индексов, причём если Положим

как мы знаем, топологически отображает на следовательно, топологически отображает на С. В частности, связно и потому принадлежит однозначно определенной компоненте множества Очевидно, при и каждая компонента множества является одним из множеств Положим

очевидно, замкнутое множество. Имеем:

Но, как мы знаем, относительно открытое в относительно открытое в (см. лемму 5 § VI, стр. 64). Следовательно, каждое из множеств а потому и замкнуто.

Так как

то -относительно открытое и замкнутое в Следовательно, множества являются компонентами множеству

Пусть отображение, индуцируемое отображением на есть накрывающее пространство для (лемма 5 § VI, стр. 64). С другой стороны, отображает взаимно однозначно. Действительно, пусть где Если принадлежат одному и тому же из множеств то, очевидно, в противном же случае имеем и снова потому что отображает и и взаимно однозначно. Таким образом, заключаем, что топологически отображает на и лемма 1 доказана.

Предложение 2. Всякий интервал из односвязен. Рассмотрим сперва случай полуоткрытого интервала, Пусть ( накрывающее пространство для . Тогда обладает некоторой замкнутой окрестностью ровно накрытой пространством Далее, гомеоморфно пространству Легко видеть, что ровно накрыто пространством Выберем какое-нибудь удовлетворяющее неравенствам с Тогда ровно накрыто пространством . С другой стороны, множество связно и не пусто. Поэтому, применяя лемму 1, видим, что ровно накрыто пространством 33. Тогда уже легко убедиться в том, что односвязно. Аналогичное рассуждение, примененное теперь к , а не к показывает, что и интервал односвязен. Предложение 2 доказано.

Следствие. Произведение конечного числа интервалов из односвязно.

Отсюда вытекает, что открытый или замкнутый шар в односвязен (открытый шар с центром в точке и радиусом определяется как множество точек, расстояния которых от меньше замкнутый шар есть замыкание открытого шара).

Предложение 3. Группа Пуанкарэ окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел; сфера при односвязна.

гомеоморфна группе являющейся факторгруппой группы по подгруппе целых чисел. Так как односвязна, то группа Пуанкарэ для изоморфна аддитивной группе целых

чисел (см. предложение 7 § VIII, стр. 82). Пусть теперь Обозначим через множества из определяемые условиями

Соответствие топологически отображает множества на замкнутый шар в откуда следует, что односвязны. Множество же гомеоморфно сфере которая связна при Поэтому вторая часть предложения 3 вытекает из леммы 1.

Предложение 4. Пусть связная локально связная топологическая группа, ее замкнутая локально связная подгруппа и компонентх нейтрального элемента в Тогда существует отображение фактор пространства на такое, что является накрывающим пространством для Если инвариантна, накрывающая группа для

Так как локально связна, то, как мы знаем, является относительно открытым множеством в (предложение 1 § VI, стр. 61). Следовательно, в существует окрестность V нейтрального элемента такая, что Без ограничения общности можно считать V открытым и связным.

Пусть естественные отображения группы соответственно, на Каждый элемент является некоторым смежным классом по модулю скажем, этот смежный класс целиком содержится в смежном классе по модулю Положим есть некоторое отображение пространства на Так как отображения — оба непрерывные и открытые, то легко видеть, что и -непрерывное и открытое отображение.

Для каждого положим

Выберем в полную систему представителей для всех смежных классов группы по модулю имеем

Множество является объединением множеств

Каждое из них отображается посредством на Множества попарно не пересекаются и каждое из них взаимно однозначно отображается посредством Действительно, предположим, что

Имеем откуда

с другой стороны, принадлежит группе следовательно,

Предполагая, что мы видим, что (как мы знаем, есть замкнутая инвариантная подгруппа группы см. предложение стр. 54); отсюда

чем доказано, что каждое отображается взаимно однозначно. Если, с другой стороны, мы предположим, что то будем иметь откуда

поэтому значит, Это доказывает, что множества попарно не пересекаются.

Каждое является открытым в поэтому отображает на непрерывно, открыто и взаимно однозначно, т. е. топологически. Так как каждое связно (как непрерывный образ множества то мы видим, что компонентами множества являются множества Отсюда непосредственно следует, что есть накрывающее пространство пространства

Если инвариантная подгруппа группы то также инвариантна. Действительно, для каждого является

связным подмножеством из содержащим нейтральный элемент, и потому Далее, отображение очевидно, есть гомоморфное отображение группы на Тем самым предложение 4 доказано.

Следствие 1. В условиях и обозначениях предложения 4 из односвязности пространства следует связность группы

Действительно, если односвязно, то должно быть взаимно однозначным, откуда

Следствие 2. Пусть связная локально связная топологическая группа. Если дискретная инвариантная подгруппа группы то где -естественное отображение группы на является накрывающей группой для

Ясно, что (в обозначениях предложения 4) и что отображение построенное при доказательстве предложения 4, является естественным отображением группы на

Предложение 5. Пусть связная локально с топологическая группа и ее замкнутая локально связная подгруппа. Предположим, что факторпространство односвязно и что локально односвязны. Тогдг группа Пуанкарэ для изоморфна некоторой факторгруппе группы Пуанкарэ для

Пусть односвязная накрывающая группа для Положим ясно, что отображает каждый смежный класс группы по модулю на смежный класс группы по модулю и притом различные смежные классы — на различные смежные классы. Пусть естественные отображения групп соответственно, на Мы видим, что существует взаимно однозначное отображение фактор-пространства на такое, что

Из того, что непрерывные открытые отображения, непосредственно следует, что отображение также непрерывное и открытое. Поэтому гомеоморфизм, из чего заключаем, что пространство односвязно.

Группа локально связна. Действительно, пусть V — окрестность нейтрального элемента группы топологически отображаемая посредством Множество содержит локально связную окрестность нейтрального элемента Множество гомеоморфно и потому локально связно; а так как это множество является окрестностью нейтрального элемента то наше утверждение доказано.

Из следствия 1 предложения 4 вытекает, что связна. Пусть отображение, индуцируемое отображением на из леммы 5 § VI, стр. 64, следует, что является накрывающей группой для

Группа Пуанкарэ группы изоморфна ядру гомоморфизма Пусть теперь односвязная накрывающая группа группы Легко видеть, что можно найти локально изоморфное отображение некоторой связной окрестности нейтрального элемента группы в окрестность нейтрального элемента группы такое, что

По теореме 3, стр. можно продолжить до гомоморфного отображения всей группы в . Множество тех элементов для которых является подгруппой группы содержащей в силу теоремы 1, стр. 54, отсюда следует, что это множество совпадает с и, значит, Пусть соответственно, ядра гомоморфизмов ясно, что будучи ядром гомоморфизма изоморфно факторгруппе . А так как изоморфно группе Пуанкарэ группы то предложение 5 доказано.

Из предложений 3 и 5 непосредственно следует, что группы Пуанкарэ для изоморфны факторгруппам групп Пуанкарэ соответственно для (см. предложения 2а, стр. 52). Но группа односвязна, так как

содержит лишь один элемент. Группа тоже односвязна, так как изоморфна сфере Таким образом, имеем:

Предложение 6. Группы односвязны для каждого

Группа Пуанкарэ для в силу предложения 1 § V, стр. 60, есть группа второго порядка. Поэтому для каждого имеет своей группой Пуанкарэ группу либо первого, либо второго порядка; в следующем параграфе мы докажем, что на самом деле это — всегда группа второго порядка.

Перейдем теперь к рассмотрению группы Обозначим через матрицу

Матрицы вида образуют в подгруппу изоморфную с Пусть -произвольная матрица из Тогда имеет абсолютную величину 1, и потому существует такое число что

Так как содержит лишь единичную матрицу, то каждое может быть записано в виде

одним и только одним способом. Отображение произведения на непрерывно и взаимно однозначно; так как компактно, то наше отображение является гомеоморфизмом, и мы доказали тем самым

Предложение 7. Базисное пространство группы гомеоморфно произведению Группа Пуанкарэ группы изоморфна аддитивной группе целых чисел.