§ IV. Лемма Шура

Предложение 1 (лемма Шура). Пусть два неприводимых матричных представления группы О над полем соответственно, степеней Необходимым и достаточным условием эквивалентности представлений является существование прямоугольной матрицы над строками и столбцами такой, что для каждого

Если представления эквивалентны, то и существует регулярная матрицу такая, что

Обратно, допустим, что существует матрица а О такая, что

Пусть и пространства представлений будем интерпретировать а как линейное отображение пространства . Пусть — образ пространства при этом отображении; так как то Из формулы сразу видно, что инвариантно. Так как неприводимо, то заключаем, что Пусть совокупность векторов из переводимых отображением а в . Та же формула, что и выше, показывает, что есть инвариантное подпространство протран? ства Так как неприводимо, то заключаем, что Таким образом, а есть взаимно однозначное отображение пространства на откуда квадратная матрица с определителем, отличным от нуля. Поэтому чем и доказана эквивалентность представлений а вместе с тем и лемма Шура.

Пусть неприводимое матричное представление группы Матрицы а, обладающие тем свойством, что для всех очевидно, образуют некоторую алгебру (т. е., если такие матрицы, то и а также для любого элемента а из обладают тем же свойством). Из доказательства леммы Шура (для случая зидно, что каждая матрица из обладает обратной матрицей причем ясно, что и принадлежит алгебре . Таким образом, есть, как говорят, алгебра с делением.

Пусть произвольный ненулевой элемент совокупность тех элементов из , которые можно выразить в виде где рациональная функция с коэффициентами из Ясно, что поле, содержащее поле К и конечное над ним (поскольку содержится в кольце всех матриц некоторого порядка с коэффициентами из А). Следовательно, в том случае, когда К алгебраически замкнуто, имеем Это означает, что имеет вид где а единичная матрица. Мы доказали

Предложение 2. Пусть неприводимое представление группы над алгебраически замкнутым полем К. Тогда единственными матрицами, перестановочными со всеми матрицами являются скалярные кратные единичной матрицы.

Предложение В. Пусть два представления группы над алгебраически замкнутым полем К, причем неприводимо. Если представления полу простые у то кратность, с которой содержится в равна кратности, с которой единичное представление содержится в

Под единичным представлением группы мы, конечно, понимаем представление, относящее каждому число 1 (рассматриваемое как матрица первого порядка). Абстрактная форма этого представления имеет своим пространством представления одномерное пространство и относит каждому тождественное отображение этого пространства на себя.

Пусть любое полупростое представление группы над К и

— разложение пространства этого представления в прямую сумму неприводимых подпространств. Мы можем считать, что все члены этого разложения (если таковые вообще имеются), изоморфные пространству единичного представления Тогда каждое с натянуто на вектор такой, что для всякого Обратно, пусть -любой вектор такой, что

Мы можем записать в виде

По предположению,

Так как сумма пространств прямая, то получаем, что

Но при не может содержать никакого вектора обладающего этим свойством. Поэтому заключаем, что есть линейная комбинация векторов Таким образом, мы видим что кратность, с которой единичное представление содержится в равна максимальному числу линейно независимых векторов из таких, что для всех

Перейдем теперь к доказательству предложения 3. Представление А эквивалентно некоторой сумме

неприводимых представлений, а эквивалентно тогда сумме Это показывает, что достаточно доказать предложение 3 для того случая, когда само неприводимо.

В качестве пространства представления мы можем тринять пространство всех линейных отображений А пространства представления в пространство 2 представления причем тогда представление относит каждому отображение

(см. § III, стр. 263). Если для всех то и лемма Шура говорит, что это может произойти с лишь в том случае, когда эквивалентны: А тогда из предложения 2 следует, что элементы А такие, что для всех получаются друг из друга умножением на скаляры. Таким образом, мы видим, что единичное представление не содержится в если не эквивалентны, и содержится в точно один раз, если эквивалентны. Тем самым предложение 3 доказано.