§ IX. Первые применения канонических координат

Предложение 1. Пусть аналитическое гомоморфное отображение аналитической группы в аналитическую группу Тогда для любого элемента X алгебры Ли группы имеем:

Действительно, пусть инфинитезимальное преобразование аддитивной группы определенное формулой (где координата в и отображение Имеем откуда Но для отображения группы в также имеем Следовательно, чем предложение 1 и доказано.

Следствие 1. Если отображение о котором говорится в предложении 1, взаимно однозначно, то оно также всюду регулярно.

Действительно, допустим, что для некоторого X из алгебры Ли группы Тогда для каждого и так как взаимно однозначно, то что доказывает взаимную однозначность отображения а тем самым — и следствие 1.

Следствие 2. Пусть аналитическая подгруппа группы алгебра Ли группы Если окрестность нуля в I), то элементы образуют окрестность нейтрального элемента в

Это непосредственно следует из предложения 1, примененного к тождественному отображению подгруппы в

Следствие 3. Пусть, в обозначениях предложения и соответственно, — алгебры Ли групп Тогда отображает на аналитическую подгруппу группы имеющую своей алгеброй Ли образ алгебры Ли при отображении

Так как гомоморфное отображение алгебры в (см. теорему 2, стр. 166), то очевидно, является некоторой подалгеброй алгебры Пусть — соответствующая аналитическая подгруппа группы (см. теорему 1, стр. 160). Элементы вида составляют систему образующих

группы Следе вателъно, элементы составляют систему образующих для Но, согласно следствию 2, эти элементы составляют систему образующих также для таким образом,

Следствие 4. Пусть, в обозначениях предложения ядро гомоморфизма и -аналитическая подгруппа группы , имеющая своей алгеброй Ли Группа служит компонентой нейтрального элемента в ядре гомоморфизма и является относительно открытой в .

Если то (по предложению 1) имеем

где нейтральный элемент группы Но, в силу следствия 2, элементы где заполняют окрестность нейтрального элемента группы Следовательно, Пусть В — окрестность нулевого элемента в топологически отображающая при экспоненциальном отображении алгебры в и окрестность нулевого элемента в такая, что будучи линейным отображением, очевидно, непрерывной. Если элемент таков, что то откуда Пусть V — образ окрестности А при экспоненциальном отображении алгебры в . Тогда V является окрестностью нейтрального элемента в и мы имеем Это показывает, что базисная группа аналитической подгруппы является относительно открытой в 9. Поэтому она также относительно замкнута в 3. А так как очевидно, замкнуто в то совокупность точек, образующих замкнута в и есть подпространство пространства Тем самым есть топологическая подгруппа группы 3, что и завершает доказательство следствия 4.

В мы показали, что совокупность всех комплексных матриц порядка можно рассматривать как алгебру Ли, Совокупность всех вещественных матриц порядка очевидно, является подалгеброй алгебры то же верно и для совокупности всех матриц со следом 0, так как, в силу хорошо известного свойства следов, каковы бы ни были две матрицы из всегда

Совокупность всех косо-эрмитовых матриц также есть подалгебра алгебры Действительно, допустим, что

и положим

Тогда

Предложение 2. Каждая из групп является базисной топологической группой некоторой аналитической подгруппы группы

Мы изложим здесь доказательство только для для остальных групп оно проводится совершенно аналогично. Пересечение является подалгеброй алгебры Пусть соответствующая подгруппа. Из предложения 5 § II главы I, стр. 18, и приведенного выше следствия 2 вытекает существование множества являющегося окрестностью нейтрального элемента и в и в Так как группы и обе связны, то представляет собой систему образующих для каждой из этих групп, а это доказывает, что и имеют одни и те же элементы. В частности, совокупность точек подгруппы замкнута в а потому является подпространством пространства (см. § V, стр. 160). Значит, совпадает с также топологически, что и завершает доказательство.

В дальнейшем обозначения будут относиться к аналитическим группам, определенным в предложении 2.

Тем же способом можно доказать, что и есть базисная топологическая группа аналитической группы; это же рассуждение можно было бы применить к если бы мы знали, что последняя группа является связной; позже это будет доказано.