§ V. Замкнутые аналитические подгруппы

Пусть -аналитическая группа размерности и ее аналитическая подгруппа размерности Предположим, что множество точек подгруппы замкнуто в базисном пространстве группы и докажем при этом условии, что базисное пространство подгруппы есть подпространство базисного пространства группы , так что базисная топологическая группа для есть топологическая подгруппа базисной топологической группы для

Так как подгруппа и ее смежные классы являются интегральными многообразиями некоторого инволютивного распределения на (см. § IV), то мы можем найти на систему координат в нейтральном элементе и кубическую окрестность V точки относительно этой системы, обладающие следующим свойством: для любых чисел удовлетворяющих неравенствам

где а — ширина куба V, сечение этого куба, определяемое уравнениями

содержится в некотором смежном классе по модулю (см. теорему 1 главы III, стр. 133). Так как в выполняется вторая аксиома счетности, то состоит не более чем из счетного множества сечений (см. § IX главы III, стр. 141). Пусть множество тех точек для которых

Так как замкнуто, то относительно замкнуто в кубе, определенном неравенствами

приняты за координаты в Будучи счетным, содержит тогда по крайней мере одну изолированную точку Пусть - какая-нибудь точка изо. Если достаточно малая окрестность точки относительно то есть окрестность точки относительно Так как изолированная точка в то существует окрестность V точки такая, что Отсюда непосредственно следует, что для любой точки из ее окрестности относительно являются пересечениями с ее окрестностей относительно Это доказывает, что есть подпространство пространства

Одновременно мы видим, что каждая точка из является изолированной и потому, при достаточно малом где — сечение, содержащее

Пусть теперь — какая-нибудь замкнутая топологическая подгруппа группы содержащая как относительно открытую подгруппу (откуда следует, в частности, что служит компонентой нейтрального элемента в При достаточно малом а мы будем иметь и потому Мы утверждаем, что существует число обладающее следующим свойством: если числа все и точки различны, то сечения принадлежат различным смежным классам по модулю Действительно, выберем окрестное так, чтобы и пусть кубические окрестности точки такие, что мыутвзрждаем, что полуширина куба обладает требуемым свойством. В самом деле, пусть и - два элемента из принадлежащие

одному и тому же смежному классу по модулю Имеем откуда связно и поэтому принадлежат одной и той же компоненте множества одному и тому же сечению; этим наше утверждение и доказано.

Так как замкнутая подгруппа группы , то есть однородное пространство с естественной топологией (см. § III главы II, стр. 49). Обозначим естественное отображение группы на через Пусть -подмножество из V, определенное условиями

Тогда отображает непрерывно и взаимно однозчачно; вследствие компактности множества это отображение — топологическое. Так как содержит образ кубической окрестности ширины точки то есть окрестность точки Мы доказали

Предложение 1. Базисная топологическая группа замкнутой аналитической тодгруппы аналитической группы есть топологическая подгруппа базисной топологической группы для 0. Пусть — какая-нибудь замкнутая топологическая подгруппа группы 0, содержащая как относительно открытую подгруппу. в существует подмножество содержащее нейтральный элемент гомеоморфное замкнутому кубу в некотором декартовом пространстве и топологически отображающееся на некоторую окрестность точки при естественном отображении группы на

Определим теперь понятие аналитической функции в точке пространства Пусть -функция, определенная в окрестности точки любая точка множества Функция определена на каком-то подмножестве из 0, которое можно представить в виде объединения смежных классов по модулю и при Если поэтому функция аналитична в то она аналитична и в любой точке вида т. е. в любой точке множества

В этом случае мы будем говорить, что аналитична в на Пусть - класс функций, аналитичных в Классы очевидно, обладают свойствами I, II, сформулированными в главы III, стр. 106. Пусть множество, построенное указанным выше образом, и совокупность внутренних

точек множества Для каждой точки положим где —точка из такая, что Соответствие

топологически отображает на некоторый куб в функции аналитичны в каждой точке из и обратно, каждая функция, аналитичная в точке аналитически зависит вблизи от функций Отсюда легко следует, что мы можем определить многообразие, имеющее своим базисным пространством и такое, что является на нем классом аналитических функций в Это многообразие мы и будем впредь обозначать через Отображение, которое индуцирует на множестве тех точек из координаты которых по абсолютной величине является аналитическим изоморфным отображением множества (рассматриваемого как подмногообразие многообразия на некоторое открытое подмногообразие многообразия

Каждому соответствует гомеоморфное отображение пространства на себя, переводящее точку Соответствие есть аналитическое отображение произведения Действительно, пусть любая точка из и — отображение, обратное к индуцируемому отображением на являемся аналитическим отображением окрестности точки и для каждой точки из этой окрестности мы имеем чем наше утверждение и доказано.