§ IX. Существование односвязных накрывающих пространств

Определение 1. Пространство называется локально односвязным, если каждая его тонка обладает по крайней мере одной односвязной окрестностью.

Заметим, что мы не требуем, чтобы каждая окрестность точки содержала односвязную окрестность.

Локально односвязное пространство, разумеется, локально связно.

Теорема 4. Всякое связное локально односвязное пространство обладает односвязным накрывающим пространством.

Выберем произвольную точку Тройку такую, что накрывающее пространство для точка из для которой мы будем называть отмеченным накрывающим пространством. Мы будем говорить, что отмеченные накрывающие пространства и одинакового типа, если существует гомеоморфное отображение пространства на такое, что Как мы знаем, можно построить такую систему накрывающих пространств пространства что каждое накрывающее пространство будет изоморфно одному из них. Отсюда легко следует, что можно построить полную систему представителей для всех типов отмеченных накрывающих пространств (а пробегает некоторое множество индексов).

Пусть — подмножество произведения составленное из тех элементов для которых все равны; обозначим общее значение элементов через Очевидно, есть непрерывное отображение множества на и точка принадлежит

Пусть точка из односвязная окрестность. Обозначим через компоненты множества пробегает множество индексов зависящее от а. Из леммы стр. 64, непосредственно следует, что топологически отображает на

Пусть теперь Обозначим через -координату точки и положим

Пусть отображение, индуцируемое отображением на Очевидно, взаимно однозначно и непрерывно. С другой стороны, -координатой прообраза всякой точки служит точка из отображающаяся посредством на ; она является непрерывной функцией от откуда следует, что отображение непрерывно. Поэтому есть топологическое отображение множества на В частности, мы видим, что связно. Очевидно,

Относя каждому элемент мы получим непрерывное отображение множества в Множество является объединением множеств для которых Для любой компоненты К множества есть связное подмножество множества и потому содержится в некотором Следовательно, каждое является компонентой множества а компонентами множества служат те для которых Из того, что гомеоморфизм, а непрерывны, легко вытекает, что топологически отображает на

Пусть пространство, состоящее из тех же точек, что и но в качестве открытых множеств имеющее объединения

компонент открытых множеств из лемму 6 § VI сгр. 65). Тогда локально связно. Каждая точка пространства имеет окрестность, ровно накрытую пространством относительно ; каждая точка пространства имеет окрестность, ровно накрытую пространством относительно Пусть — компонента точки отображения, индуцируемые отображениями на Тогда является накрывающим пространством для для (см. лемму 5 § VI, стр. 64). Теорема 4 будет доказана, если мы сможем показать, что односвязно.

Пусть накрывающее пространство для Покажем, что есть накрывающее пространство Пусть любая точка из — односвязная окрестность точки Обозначим через V компоненту точки тогда из лемм 1 и 5 § VI, стр. 62 и 64, следует, что V является односвязной окрестностью точки и потому ровно накрыто пространством относительно Этим наше утверждение и доказано.

Пусть точка из такая, что Тогда есть отмеченное накрывающее пространство для как таковое, оно — одного типа с для некоторого а, т. е. существует гомеоморфное отображение пространства на такое, что

Положим Тогда является накрывающим пространством для Имеем Для доказательства того, что гомеоморфизм, достаточно будет доказать, что гомеоморфизм. непрерывно отображает пространство в себя, причем

В силу леммы 1 § VIII, стр. 77, отсюда следует, что есть тождественное отображение пространства на себя, что

доказывает взаимную однозначность отображения Так как накрывающее пространство для то заключаем, что гомеоморфизм. Тем самым теорема 4 доказана.