§ VII. Симплектическая геометрия

Пусть алгебра кватернионов. Через где — целое поюжительное число, мы обозначим произведение экземпляров множества Элемент будем называть (кватернионным) вектором; будут координатами этого вектора. Сложение векторов определим как сложение соответственных координат; если — вектор и то через будем обозначать вектор Очевидно, векторы образуют группу относительно сложения. Далее, для любых векторов и кватернионов имеем:

(Можно было бы определить и левое умножение однако этим типом умножения нам пользоваться не придется.) Симплектическим произведением а двух векторов мы будем называть кватернион

Это произведение обладает свойствами, аналогичными свойствам эрмитова произведения, введенного в :

Далее,

где вещественное неотрицательное число, называемое длиной вектора а. Эта длина отлична от нуля, если

Векторным подпространством пространства мы называем такое его подмножество которое вместе с каждыми двумя своими векторами содержит также и вместе с каждым своим вектором а — также вектор для любого Совокупность всех векторов вида

где фиксированное конечное множество векторов, является векторным подпространством пространства мы будем говорить, что оно натянуто на векторы

Если, кроме того, из равенства следует, что то мы говорим, что линейно независимы.

В частности, само пространство натянуто на линейно независимых векторов где вектор, -той координатой которого служит

Совершенно так же, и в обычном случае, можно доказать, что:

1) каждое векторное подпространство пространства может быть натянуто на конечное множество линейно независимых векторов; такое множество называется базисом подпространства

2) все базисы подпространства содержат одно и то же число элементов, называемое размерностью этого подпространства и обозначаемое через

3) если является векторным подпространством в то из равенства следует

Эндоморфизм пространства есть отображение этого пространства в себя, удовлетворяющее условиям

для любых Такое отображение, очевидно, полностью определяется заданием векторов

Поэтому линейные эндоморфизмы пространства взаимно однозначно соответствуют матрицам с коэффициентами

из Мы будем обозначать одной и той же буквой и сам эндоморфизм, и соответствующую ему матрицу. Если такие матрицы, то через мы (как обычно) обозначаем матрицу с коэффициентами

при этом имеем т. е. для каждого вектора а.

Пусть а — какая-нибудь матрица. Тогда либо существует вектор такой, что либо обладает обратной матрицей (т. е. , где диагональная матрица порядка , все диагональные коэффициенты которой равны Действительно, если из следует то есть изоморфное отображение пространства на некоторое его подпространство поэтому откуда Следовательно обладает обратным отображением которое, очевидно, также является эндоморфизмом.

Совокупность всех матриц порядка с коэффициентами из мы будем обозначать через

Матрица называется симплектической, если для каждого Совершенно так же, как в § III, стр. 21, можно доказать следующие факты:

1) если симплектична, то для любых векторов из

2) для того чтобы была симплектичной, необходимо и достаточно, чтобы где определенная выше единичная матрица.

Следовательно, если симплектична, то из вытекает а обладает обратной матрицей, которой, очевидно, служит Имеем также откуда явствует, что и симплектична.

Легко видеть, что симплектические матрицы образуют группу.

Определение 1. Группа всех матриц а обладающих тем свойством, что для любых двух векторов из выполняется равенство

обозначается через и называется симплектической группой.

Определение 2. Вектор а, имеющий длину 1, называется единичным вектором. Векторы a и b, для которых называются ортогональными. Система векторов удовлетворяющая условиям называется ортонормальной.

Так, например, базисные векторы образуют ортоиормальную систему.

Предложение 1. Для любых линейно независимых векторов из существует ортонормалъная система такая, что на множества для каждого натянуто одно и то же подпространство пространства

Доказательство вполне аналогично доказательству предложения стр. 20.

Основываясь на предложении 1 и применяя рассуждение, аналогичное использованному в мы можем получить следующий результат:

Предложение 2. Для любого единичного вектора а из существует симплектическая матрица такая, что .