§ III. Дифференциальные формы Картана

Определение 1. Грассмановская алгебра, соответствующая касательному пространству к многообразию в точке называется картановской дифференциальной алгеброй в

Мы будем обозначать эту алгебру через

Определение 2. Дифференциальной формой порядка определенной на подмножестве А многообразия , называется функция, относящая каждой точке из А некоторый однородный элемент степени из Дифференциальная форма первого порядка называется также пфаффовой формой.

Дифференциальная форма нулевого порядка есть, таким образом, просто вещественная функция, и мы знаем, что имеется в виду, когда говорят, что такая функция аналитична в точке области ее определения. Теперь мы распространим это понятие на дифференциальные формы любого порядка.

Элемент первой степени в есть элемент пространства, дуального к касательному пространству Но мы уже видели, что это дуальное пространство есть пространство дифференциалов в точке Пусть — система координат в тогда дифференциалы образуют базис пространства Для каждого из окрестности точки

Пусть дифференциальная форма порядка определенная в окрестности точки мы можем выразить значение формы в точке в виде

где сумма распространена на все композиции удовлетворяющие условиям

Мы будем говорить, что форма 6 аналитична в точке если все функции аналитичны в Для оправдания этого определения мы должны показать, что оно не зависит от выбора системы координат. Пусть какая-нибудь другая система координат в точке Старые координаты можно выразить в окрестности точки через новые координаты в виде функций

аналитичных в точке

Для точек достаточно близких к имеем:

где — значение производной при Поэтому

где сумма распространена на все системы для которых Полагая

имеем:

Если функции аналитичны в то, разумеется, то же самое верно и для функций и. Это и оправдывает наше определение аналитичных дифференциальных форм.

Аналогично, если функции непрерывны в то непрерывны и функции и В этом случае мы будем говорить, что форма непрерывна в точке

Определим теперь операцию дифференцирования дифференциальных форм. Пусть дифференциальная форма порядка аналитичная в точке При есть функция на , и что такое ее дифференциал в точке мы уже знаем. В общем случае мы определим дифференциал формы в точке как элемент из , задаваемый формулой

И здесь мы должны показать, что наше определение не зависит от выбора системы координат.

Прежде чем перейти к этому, докажем некоторые свойства операции дифференцирования, определенной последней формулой относительно какой-нибудь избранной системы координат

Для любых двух форм порядка и любых двух вещественных чисел имеем:

Предположим теперь, что дифференциальные формы, соответственно, порядков обе аналитичные в Они одновременно определены в некоторой окрестности точки и отнеся каждой точке из этой окрестности элемент мы получим дифференциальную форму очевидно, аналитичную в Мы утверждаем, что ее дифференциалом в точке служит

Пусть сначала В силу формулы (2) достаточно доказать утверждаемую формулу для того случая, когда

где и функции аналитичны

Если множества обладают общим элементом, то

и формула (3) доказана. В противном случае, пусть элементы множества расположенные в возрастающем порядке. Имеем

где равно соответственно четности или нечетности подстановки

Поэтому

поскольку

В случае имеем где функция аналитична в причем мы можем предполагать, что задана той же формулой, что и выше. Тогда

Аналогично докажем формулу (3) и при Таким образом, справедливость этой формулы установлена во всех случаях.

В частности, для пфаффовых форм аналитичных в точке имеем:

Отсюда легко следует, что для пфаффовых форм аналитичных в точке будем иметь

Пусть - произвольная функция на , аналитичная в Относя каждой точке в которой аналитична, элемент мы получим пфаффову форму дифференциал функции В окрестности точки мы можем выразить в виде функции от координат Для точек принадлежащих этой окрестности, имеем:

Так как функции аналитичны в точке то форма аналитична в Имеем:

Замечая, что

получаем:

На основании формулы (5) заключаем, что для любых функций аналитичных в точке

Теперь мы уже в состоянии доказать, что наша операция дифференцирования независима от выбора системы координат. Пусть любая другая система координат в точке и символ обозначает операцию дифференцирования, определенную в терминах этой новой системы. Операция обладает теми же формальными свойствами, что и

Пусть 6 — форма порядка выраженная формулой (1), В силу формулы (2), тогда

Далее, в силу формулы (3), имеем:

Но для любой функции по определению, Поэтому

и второй член правой части полученного нами равенства, в силу формулы (7), равен нулю; первый же равен

Это и доказывает, что

Свойство операции дифференцирования, выраженное формулой (6), распространяется на любую дифференциальную форму: для любой аналитической дифференциальной формы имеем

Действительно, пусть форма аналитична в точке и выражается для всех из некоторой окрестности этой точки формулой (1). Тогда

откуда, в силу формул (3), (6) и (7), мы и получаем, что

Влияние отображения

Пусть теперь — какое-нибудь другое многообразие и аналитическое отображение этого многообразия в Пусть и есть линейное отображение касательного пространства к многообразию в точке в касательное пространство к многообразию точке Пусть грассмановские алгебры многообразий и соответственно, в точках Покажем, что отображению соответствует дуальное отображение алгебры в

Однородный элемент порядка из есть знакопеременная -линейная форма на . Пусть любые элементов из положим

Ясно, что есть -линейная знакопеременная форма на Мы положим

Таким образом, мы получили, для каждого линейное отображение совокупности однородных элементов степени из в совокупность однородных элементов степени из 2). При однородный элемент степени из есть вещественное число 0, и в этом случае мы полагаем просто Неоднородный элемент из мы представляем в виде

где однородный элемент степени и полагаем

есть линейное отображение алгебры в 2). Оно является также кольцевым гомоморфизмом, т. е. для любых двух однородных элементов степеней из имеем:

Действительно,

где сумма распространена на все подстановки элементов множества равно или —1 соответственно четности или нечетности подстановки ; в силу этой формулы равенство (2) непосредственно следует из определяющей формулы (1).

Выберем на в точке какую-нибудь систему координат Тогда есть однородный элемент степени 1 на и

для каждого Это означает, что

Пусть теперь пробегает многообразие и какая-нибудь аналитичная дифференциальная форма порядка на Тогда соответствие определяет на дифференциальную форму; мы обозначим через Из равенства

аналитичности функций непосредственно следует, что форма аналитична на Если

то (полагая для упрощения обозначений имеем

Поэтому

Замечая, что, согласно формуле (3),

видим, что