Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § III. Дифференциальные формы КартанаОпределение 1. Грассмановская алгебра, соответствующая касательному пространству к многообразию Мы будем обозначать эту алгебру через Определение 2. Дифференциальной формой порядка Дифференциальная форма нулевого порядка есть, таким образом, просто вещественная функция, и мы знаем, что имеется в виду, когда говорят, что такая функция аналитична в точке Элемент первой степени в есть элемент пространства, дуального к касательному пространству Пусть
где сумма распространена на все композиции Мы будем говорить, что форма 6 аналитична в точке
аналитичных в точке
Для точек
где
где сумма распространена на все системы
имеем:
Если функции Аналогично, если функции непрерывны в Определим теперь операцию дифференцирования дифференциальных форм. Пусть
И здесь мы должны показать, что наше определение не зависит от выбора системы координат. Прежде чем перейти к этому, докажем некоторые свойства операции дифференцирования, определенной последней формулой относительно какой-нибудь избранной системы координат Для любых двух форм
Предположим теперь, что
Пусть сначала
где Если множества
и формула (3) доказана. В противном случае, пусть
где
Поэтому
поскольку
В случае
Аналогично докажем формулу (3) и при В частности, для пфаффовых форм
Отсюда легко следует, что для пфаффовых форм
Пусть
Так как функции аналитичны в точке
Замечая, что
получаем:
На основании формулы (5) заключаем, что для любых функций
Теперь мы уже в состоянии доказать, что наша операция дифференцирования независима от выбора системы координат. Пусть Пусть 6 — форма порядка
Далее, в силу формулы (3), имеем:
Но для любой функции
и второй член правой части полученного нами равенства, в силу формулы (7), равен нулю; первый же равен
Это и доказывает, что
Свойство операции дифференцирования, выраженное формулой (6), распространяется на любую дифференциальную форму: для любой аналитической дифференциальной формы
Действительно, пусть форма
откуда, в силу формул (3), (6) и (7), мы и получаем, что Влияние отображенияПусть теперь — какое-нибудь другое многообразие и Однородный элемент
Ясно, что
Таким образом, мы получили, для каждого
где
есть линейное отображение алгебры
Действительно,
где сумма распространена на все подстановки Выберем на в точке
для каждого
Пусть теперь аналитичности функций
то (полагая для упрощения обозначений
Поэтому
Замечая, что, согласно формуле (3),
видим, что
|
1 |
Оглавление
|