§ IV. Касательные векторы. Дифференциалы

Пусть многообразие размерности — его точка и класс аналитических функций в Под касательным вектором к в точке мы будем понимать отображение класса в область вещественных чисел, удовлетворяющее следующим двум условиям:

1) L линейно, т. е.

для любых двух функций из и любых двух вещественных чисел .

2) L есть дифференцирование, т. е.

для любых двух функций из

Число где касательный вектор, а -функция из часто называется производной функции по направлению

Пусть касательные векторы к в точке Ясно, что отображение

где любые вещественные числа, снова является касательным вектором к X) в точке Поэтому касательные векторы в образуют векторное пространство; оно называется касательным векторным пространством к X) в точке

Пусть теперь любая система координат в Если функция аналитична в то она допускает, в некоторой окрестности точки определенное выражение через эти координаты

где функция вещественных переменных, определенная и аналитическая в окрестности точки Будем для упрощения обозначений вместо ишмх

писасать Ясно, что отображение класса в область вещественных чисел, определяемое формулой

при любом выборе вещественных коэффициентов является касательным вектором в Докажем теперь, что каждый касательный вектор в имеет такой вид; а именно, покажем, что каковы бы ни были система координат и касательный вектор для всех имеет место соотношение

Из этого соотношения вытекает также тот важный факт, что касательный вектор однозначно определяется значениями, которые он относит функциям, образующим систему координат.

Для доказательства соотношения заметим сперва, что каждый касательный вектор, очевидно, отображает любую постоянную в 0. Пусть теперь -произвольная функция из мы можем выразить ее (в окрестности точки в виде

где некоторые функции из а

Применяя находйм:

Но так как дифференцирование (см. условие 2 определения касательного вектора), то

Принимая еще во внимание, что видим, что соотношение (1) вытекает из (2).

Положив

мы получим касательный вектор такой, что

Эти касательных векторов линейно независимы, так как

Далее, для любого касательного вектора имеем

и потому

Это показывает, что касательное пространство есть -мернов векторное пространство.

Пусть теперь — некоторое многообразие и -отображение многообразия X) в аналитическое в точке Пусть, далее, какой-нибудь касательный вектор к X) в и -любая функция, аналитичная в точке на Положив

мы, очевидно, получим касательный вектор к в Ясно также, что отображение линейно.

Определение 1. Отображение, относящее каждому касательному вектору к многообразию X) в точке касательный вектор многообразию в точке заданный

формулой (3), называется дифференциалом отображения в точке и обозначается обычно через или

Предположим теперь, что отображение многообразия на третье многообразие X, причем аналитично в Для любой функции на X, аналитичной в функции совпадают в окрестности точки Отсюда сразу следует, что

Предложение 1. Пусть — два многообразия, аналитическое отображение многообразия X в и точка из . Предположим, что является взаимно однозначным отображением касательного пространства к X в касательное пространство к Тогда, какова бы ни была система координат в точке на из функций утоф можно выбрать функций, образующих систему координат в на X). При этом для любой системы координат на X) существует система координат на такая, что в окрестности точки совпадает с

Действительно, пусть какая-нибудь система координат в точке на . Функцию можно выразить в окрестности точки в виде где функция вещественных переменных, аналитичная в точке Покажем, что прямоугольная матрица, образованная числами имеет ранг Пусть

— линейное соотношение между столбцами этой матрицы. Пусть, далее, касательный вектор к определенный формулами

вектор 2 Имеем

т. е.

Отсюда Так как взаимно однозначно, то

и наше утверждение доказано.

Из множества можно в таком случае выбрать индексов так, чтобы определитель, образованный из строк с индексами был отличен от нуля. Тогда функции

очевидно, образуют систему координат в на можно выразить в окрестности точки в виде

функции являются аналитическими функциями от вещественных переменных и их функциональный определитель при не обращается в нуль. Положим

а в качестве возьмем те функции индекс которых не содержится среди индексов Ясно, что есть система координат в на и

Замечание. Мы видим, что, в условиях предложения 1, в существует окрестность точки топологически отображающаяся посредством

Определение 2. Отображение многообразия X) в многообразие называется регулярным в точке если аналитично в взаимно однозначное отображение.

Предложение 2. Предположим, что, в обозначениях предложения 1, образ касательного пространства к многообразию (в точке при отображении покрывает всё касательное пространство к многообразию (в точке Если тогда система координат в на то функции составляют часть системы координат в на

Пусть функции, образующие систему координат в на И здесь мы можем выразить в

окрестности точки в виде Покажем, что ранг матрицы, образованной числами равен Действительно, предположим, что между строками этой матрицы имеется соотношение

Пусть касательный вектор к в точке определенный формулами

По предположению, в существует касательный вектор для которого Имеем:

Умножая на и суммируя по от 1 до получим чем наше утверждение и доказано.

Без ограничения общности можно считать, что отличен от нуля определитель, образованный первыми столбцами нашей матрицы. Тогда функции

образуют систему координат в на 0.

Замечание. Из предыдущего непосредственно следует, что, в условиях предложения 2, образ любой окрестности точки в X) при отображении покрывает целую окрестность точки в

Предложение 3. Предположим, что, в обозначениях предложения есть линейное изоморфное отображение касательного пространства к многообразию (в точке на касательное пространство к многообразию (в точке Тогда существует окрестность V точки в X), топологически отображающаяся посредством на некоторую окрестность точки в при этом обратное отображение окрестности на V аналитично в Это — непосредственное следствие предложений 1 и 2. Предл ожени Пусть аналитическое отображение многообразия в многообразие Если дифференциал

этого отображения равен нулю в каждой точке многообразия 0, то постоянное, т. е. отображает все 40 в одну точку многообразия

Пусть какая-нибудь точка из система координат в точке на и -кубическая окрестность точки относительно этих координат. Пусть, далее, -система координат в на — кубическая окрестность точки относительно координат такая, что Для каждой точки имеем:

где функции аналитичны в кубе, определяемом неравенствами ширина куба V). Обозначим через касательный вектор к в точке определяемый формулами

Имеем:

Так как частные производные функций равны нулю, то, следовательно, эти функции — константы. Но это означает, что отображает всё V на точку

Поставим теперь в соответствие каждой точке множество точек отображаемых посредством в Из доказанного следует, что каждое является открытым множеством. С другой стороны, множества попарно не пересекаются и заполняют в совокупности все . Так как связно, то лишь одно из множеств может быть непустым. Предложение 4 тем самым доказано.

Дифференциал функции

Вещественную аналитическую функцию определенную на многообразии , можно рассматривать как отображение этого многообразия в многообразие вещественных чисел. Ее дифференциал в точке есть линейное отображение касательного пространства к в в касательное пространство к Так как есть одномерное линейное пространство над натянутое на вектор определенный условием рассматривается здесь как вещественная

функция на то мы можем отождествить с самим отождествляя с числом 1. Это превращает в линейную функцию, определенную на 2 и принимающую вещественные значения. Из определений непосредственно следует, что

Далее, для любых двух аналитических функций на 4) и постоянных коэффициентов имеем

Поэтому дифференциалы функций из образуют линейное подпространство пространства всех линейных функций, определенных на 8. Если образуют систему координат в точке то их дифференциалы очевидно, линейно независимы. Поэтому пространство дифференциалов имеет размерность и совпадает с пространством всех линейных функций, определенных на 8.

Из сказанного видно, что пространства можно рассматривать дуальные векторные пространства.

Произведения многообразий

Пусть многообразия размерностей их произведение. Пусть, далее, — точка из точка из точка Обозначим через соответственно, касательные пространства к в точках

Пусть и проекции многообразия 4) на -Каждому вектору соответствуют векторы

Пусть система координат в точке на и система координат в точке на Тогда функции

образуют систему координат в точке

Пусть произвольные векторы, соответственно, из Равенствами

определяется вектор и ясно, что

Так как указанные равенства могут выполняться лишь для одного вектора то мы видим, что можно отождествить с произведением пространств

Мы уже отождествили касательное пространство к многообразию вещественных чисел в любой точке последнего с самим Поэтому мы можем теперь отождествлять с касательным пространством к многообразию R.