§ IX. Аксиома счетности

До сих пор мы нигде не требовали, чтобы базисное пространство многообразия удовлетворяло второй аксиоме счетности Хаусдорфа. Однако для многообразий, которые мы будем рассматривать позжз, эта аксиома выполняется, что влечет за собой некоторые важные следствия.

Будем называть подмножество многообразия , являющееся, в подходящей системе координат, кубичзской окрестностью одной из точек этого многообразия, кубическим подмножеством многообразия Ясно, что в выполняется вторая, адсиом счетности в том и только в том случае, если 45 может быть, покрыто счетной системой кубических подмножеств. Это условие

эквивалентно следующему:

В многообразии выполняется аксиома счетности в том и только в том случае, если может быть представлено в виде объединения некоторого счетного семейства своих компактных подмножеств.

Действительно:

1) Предположим, что вторая аксиом! счетности выполняется в Тогда можт быть представлено в виде единения счетного семейства кубических подмножеств. Каждое из них гомеоморфно (открытому) кубу из где размерность многообразия и так как куб может быть представлен в виде объединения счетного семейства компактных множеств, то это же верно и для

2) Предположим, что есть объединение счетного семейства компактных подмножеств. Каждая точка из имеет окрестность в являющуюся кубическим множеством. Будучи компактным, может быть покрыто конечным числом этих кубических множеств. А так как это верно для каждого то может быть покрыто счетным семейством этих; кубических множеств.

Рассмотрим теперь инволютивное распределение на многообразии Как мы видели (теорема 1, стр. 133), каждая точка имеет окрестность V, разбивающуюся на сечения, являющиеся интегральными многообразиями распределения Пусть — максимальное интегральное многообразие, содержащее Тогда есть объединение некоторой совокупности этих сечений. Так как два различных сечения не пересекаются, то компактное подмножество из может иметь общие точки, самое большее, с конечным числом сечений. Отсюда непосредственно следует, что если на выполняется вторая аксиома счетности, то является объединением, самое большее, счетного числа сечений.

Пусть сечение, содержащее точку Очевидно, совпадает со связной компонентой этой точки в в смысле топологии многообразия Но если содержит, самое большее, счетное множество сечений, то есть также связная компонента точки в множестве в смысле топологии многообразия Действительно, мы можем считать, что V — кубическая окрестность точки относительно системы координат такая, что каждое сечение представляется уравнениями вида

где какая-нибудь точка этого сечения. Пусть -отображение пространства определяемое формулой

При нашем предположении, отображает на счетное подмножество из Так как непрерывно, то оно отображает каждую связную компоненту множества (в смысле топологии многообразия ) на связное подмножество из Но любое связное счетное подмножество из очевидно, должно состоять из одной точки. Это и доказывает, что любая связная компонента множества является сечением.

Предложение 1. Пусть инволютавное распределение на многообразия какое-нибудь интегральное многообразие этого распредежния. Предположим, что аналитическое отображение в некоторого многообразия отображающее точечное множество этого многообразия в Если на выполняется вторая аксиома счетности, то есть аналитическое отображение многообразия в многообразие

Пусть — точка из ее образ в Выберем систему координат в на и кубическую окрестность V точки относительно этой системы с теми же свойствами, что и выше. Так как непрерывно, то существует кубическая окрестность точки (относительно какой-то системы координат в 5 на отображающаяся посредством на некоторое подмножество из При этом, так как связна, то связно и Поэтому есть связное подмножество множества (в топологии окрестности V). Отсюда следует, по ранее доказанному, что содержится в сечении множества содержащем точку

Любая функция аналитичная на совпадает в окрестности точки в с функцией, индуцируемой некоторой функцией аналитичной в на (см. стр. 129). Так как а налитическое отображение многообразия в , то функция аналитична в 5 на Если мы выберем так, чтобы содержалось в области определения функции то будет принадлежать также области определения функции (поскольку и функции будут определены на и совпадать там. Поэтому аналитична в на что и доказывает, что есть аналитическое отображение многообразия в

Предложение 2. Если вторая аксиома снетности выполняется в многообразии 40, то она выполняется также в любом его подмногообразии.

Доказательство предложения 2 будет основываться на следующих леммах:

Лемма 1. Пусть связное пространство. Предположим, что на нем существует семейство открытых подмножеств, обладающее следующими свойствами: а) на каждом рассматриваемом как подпространство пространства выполняется вторая аксиома счетности) для каждого существует не более счетного множества индексов таких, что пересекается с Тогда вторая аксиома счетности выполняется и в

Пусть любой индекс, для которого мы будем говорить, что индекс а достижим из шагов, если существует последовательность индексов начинающаяся в и кончающаяся такая, что

Пусть множество всех индексов а, обладающих этим свойством. Докажем, индукцией по что счетно. По предположению, это утверждение верно при Допустим теперь, что оно верно для если а то существует индекс такой, Но в имеется лишь счетное множество индексов а для каждого из них имеется лишь счетное множество индексов а таких, что это доказывает наше утверждение и для Пусть теперь в силу доказанного, А — счетное множество. Положим есть открытое подмножество пространства удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Пусть любая точка, лежащая в замыкании множества принадлежит некоторому Так как открытое множество, то откуда для некоторого Но принадлежит некоторому поэтому так что Таким образом, V — не только открытое, но и замкнутое множество. Так как связно, то и лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть связное локально связное пространство. Предположим, что может быть покрыто о

объединением счетного семейства открытых подмножеств обладающих следующим свойством: любая компонента любого из множеств удовлетворяет второй аксиоме счетности. Тогда вторая аксиома счетности выполняется и на .

Пусть компоненты множества а пробегает некоторое множество индексов В силу предложения 1 § V гл. II, стр. 61, - открытые множества. Поэтому, валу леммы 1, достаточно доказать, что, при заданных и аимеется лишь счетное множество индексов для которых Множество есть открытое подмножество множества так как на выполняется вторая аксиома счетности, то множество содержит лишь счетное множество компонент Каждое есть связное подмножество множества и потому принадлежит однозначно определенной компоненте этого множества. Пусть любой индекс такой, что Каждая точка из принадлежит одному из множеств Это будучи связным подмножеством множества и пересекаясь с целиком содержится в откуда этим наше утверждение и доказано.

Лемма 3. Пусть — связное пространство. Предположим, что существует непрерывное отображение пространства в обладающее следующем свойством: для любой точки из существует открытое подмноэюество V пространства содержащее и топологически отображающееся посредством на открытое множество из Тогда выполняется вторая аксиома счетности.

В можно найти счетное множество открытых множеств, обладающее тем свойством, что в любой окрестности любой точки содержится некоторое При этом множества можно предполагать связными. Рассмотрим, для любого целого семейство тех открытых множеств пространства , которые топологически отображаются посредством на а пробегает множество индексов которое для некоторых может быть и пустым. При этом мы предполагаем, что при Если , a пересекается с то Действительно, пусть отображения множества соответственно на обратные к отображениям, индуцируемым на этих двух множествах отображением и множество Предположим на время, что содержит граничную точку множества Тогда

где последовательность точек из поэтому

Но для любой точки мы, очевидно, имеем и значит

с другой стороны, точка принадлежит 1, а потому и Это показывает, что что, однако, противоречит тому, что открытое множество. Поэтому не содержит граничных точек множества и так как (будучи гомеоморфным множеству связно, то Таким же образом убедимся в том, что откуда и следует, что Так как множества Открытые, то заключаем теперь, что они являются компонентами множества

При этом ясно, что в каждом выполняется вторая аксиома счетности и что каждая точка из принадлежит одному из множеств Поэтому лемма 3 вытекает из леммы 2.

Лемма 4. На -мерном подмногообразии многообразия выполняется вторая аксиома счетности.

Пусть функции, индуцируемые в координатами из Пусть, далее, любая система различных индексов, выбранных из чисел совокупность тех точек многообразия , в которых функции образуют систему координат на есть открытое множество в , и каждая точка из принадлежит одному из множеств Пусть любая компонента множества отображение ее в определенное формулой

Из леммы 3, примененной к пространству V и отображению непосредственно следует, что в V выполняется вторая аксиома счетности. Лемма 4 вытекает тогда из леммы 2.

Мы можем теперь перейти к доказательству предложения 2. Так как на выполняется вторая аксиома счетности, то мы можем покрыть счетным числом открытых подмножеств каждое из которых служит кубической окрестностью некоторой точки из относительно некоторой системы координат в этой точке. Пусть — подмногообразие многообразия Положим Множества открытые

в Каждая компонента множества топологии многообразия рассматриваемая как подпространство пространства являетсл базисным пространством открытого подмногообразия многообразия Далее, как подпространство пространства , есть базисное пространство открытого подмногообразия многообразия X, и к есть подмногообразие в Так как - «кубическая окрестность относительно некоторой системы координат, то аналитически изоморфно некоторому открытому подмногообразию многообразия Следовательно, и аналитически изоморфно некоторому подмногообразию из В силу леммы 4, в к выполняется вторая аксиома счетности. А тогда, в силу леммы 2, она выполняется и в