§ VII. Факторгруппы аналитической группы

Пусть аналитическая группа и ее топологическая подгруппа, удовлетворяющая следующим условиям: замкнута в компонента нейтрального элемента в есть базисная топологическая группа некоторой аналитической подгруппы группы и является относительно открытой в При этих условиях мы уже определили в структуру многообразия. Предположим теперь, сверх того, что инвариантная подгруппа. Тогда обладает и структурой группы. Докажем, что группа и многообразие взятые вместе, образуют аналитическую группу.

Отображение произведения анзлитично (см. § V, стр. 163). При этом, так инвариантная подгруппа, то зависит только от смежного класса модулю содержащего Пусть естественное отображение на Мы видели в что для любой точки существует аналитическое отображение со ее окрестности в такое, что для всякого принадлежащего этой окрестности. Имеем это и доказывает, что отображение аналитично, и тем самым что есть аналитическая группа.

Обозначим группу через и алгебры Ли групп и соответственно, через По теореме 2, стр. 166, гомоморфизму соответствует гомоморфное отображение алгебры Как мы знаем, существует подмногообразие многообразия содержащее нейтральный элемент и такое, что отображение, которое индуцирует в является аналитическим изоморфным отображением многообразия I на некоторое открытое подмногообразие многообразия (см. §V, стр. 163). Отсюда следует, что при отображении каждый касательный вектор к служит образом некоторого касательного вектора к Другими словами,

Пусть — совокупность элементов для которых есть векторное подпространство пространства имеющее размерность (где тип, соответственно, — размерности многообразий С другой стороны, со отображает на Отсюда непосредственно следует, что для любого значит, Так как имеет размерность то заключаем, что

Из определения совокупности непосредственно следует, что если то для всякого

Определение 1. Векторное подпространство алгебры Ли называется идеалом в если одновременно с также для всех

Пусть идеал в алгебре Ли — любые два элемента из векторного пространства Если элементы из принадлежащие, соответственно, смежным классам то смежный класс, которому принадлежит элемент зависит только от и это следует из того, что для любых из имеют место соотношения

Обозначая смежный класс, содержащий через непосредственно видим, что закон композиции определяет на структуру алгебры Ли. Определенную таким образом алгебру Ли мы будем обозначать снова через

Возвращаясь к рассмотрению группы замечаем, что где зависит только от класса вычетов, которому X принадлежит по модулю и что, поэтому, естественно определяет линейное изоморфное отображение пространства на Так как гомоморфизм, то есть изоморфное отображение алгебры Ли на Тем самым мы доказали

Предложение 1. Пусть аналитическая группа а — ее замкнутая инвариантная топологическая подгруппа. Предположим, что компонента нейтрального элемента в является относительно открытой в и служит базисной топологической группой некоторой аналитической подгруппы группы 0. Пусть соответственно, — алгебры Ли групп и Тогда есть идеал в и алгебра Ли факторгруппы изоморфна факторалгебре

Позже мы докажем, что алгебра Ли (не обязательно замкнутой) аналитической подгруппы группы явл, ется идеалом в алгебре Ли группы в том и только в том случае, если инвариантная подгруппа группы