Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. ГРУППЫ ЛИ

Краткое содержание. В главе II изучались группы, являющиеся одновременно топологическими пространствами. Теперь мы будем рассматривать группы, являющиеся одновременно многообразиями; это приводит к понятию аналитической группы, определяемому в § I.

Наиболее важным новым понятием, вызываемым введением аналитических групп, является понятие алгебры Ли, определяемое в § II. Каждой аналитической группе соответствует некоторая алгебра Ли, и связи, могущие существовать между аналитическими группами, дублируются соответствующими связями между алгебрами Ли. Так, аналитические подгруппы аналитической группы соответствуют подалгебрам алгебры Ли группы теорема 1, стр. 160), и аналитическое гомоморфное отображение аналитической группы в аналитическую группу соответствует гомоморфному отображению алгебры Ли группы в алгебру Ли группы (теорема 2, стр. 166). Рассматриваемые здесь аналитические подгруппы — не обязательно замкнутые и не обязательно топологические подгруппы, хотя и являются подмногообразиями. В § V устанавливается, что аналитическая подгруппа, замкнутая как точечное множество, необходимо является и топологической подгруппой. Если топологическая подгруппа аналитической группы такая, что связная компонента нейтрального элемента в есть базисная топологическая группа замкнутой аналитической подгруппы группы то однородное пространство обладает, структурой многообразия, определяемой в § V. Если -инвариантная подгруппа, то аналитическая группа. В § VII устанавливается, что алгебра Ли факторгруппы есть факторалгебра алгебры Ли группы по алгебре Ли группы

Понятие экспоненциального отображения, установленное нами для матриц, может быть обобщено на случай произвольной аналитической группы. Это позволяет использовать элементы, образующие алгебру Ли аналитической группы для параметрического представления элементов, образующих окрестность нейтрального элемента в Определение этого обобщенного экспоненциального отображения служит предметом § VIII. Экспоненциальное отображение используется в § IX для пополнения полученных в § VII сведений о гомоморфных отобра жениях аналитических групп.

В § X мы показываем, что сложение и композиция определенные для элементов алгебры Ли, соответствуют (аппроксимативно)

умножению и образованию коммутаторов, определенным для элементов группы.

В § XI устанавливается, что аналитическая группа допускает представление линеиными преобразованиями, действующими в ее алгебре Ли. Отсюда можно вывести, что аналитическая группа, центром алгебры Ли которой служит по крайней мере локально изоморфна некоторой подгруппе линейной группы. Далее доказывается, что алгебра Ли, центр которой содержит только 0, может быть представлена как алгебра Ли некоторой аналитической группы. Что ограничение, наложенное на центр, в действительности не необходимо, будет доказано значительно позже (во втором томе).

В § XII доказывается, что коммутаторная подгруппа аналитической группы является базисной группой некоторой аналитической подгруппы — так называемой производной группы.

Аналитическая группа ipso facto обладает структурой топологической группы; в § XIII устанавливтся, что аналитическая структура (и в частности алгебра Ли) однозначно определяется в топологических терминах (теорема 3, стр. 189). Это замечательное обстоятельство имеет место лишь для вещественных аналитических групп, но не для групп с комплексными параметрами (см. второй том). Чтобы обойти условие связности, включенное в понятие многообразия, мы определяем группу Ли как локально связную топологическую группу которой компонента нейтрального элемента является базисной топологической группой некоторой аналитической группы (которая тогда однозначно определена). Из этого последнего факта следует, что при рассмотрении групп Ли можно свободно пользоваться понятием алгебры Ли.

В § XIV выводится условие, достаточное для того, чтобы топологическая группа была группой Ли. результат представляет бой незначительное обобщение результата Картана, согласно которому любая замкнутая подгруппа группы Ли есть снова группа Ли.

В § XV мы показываем, что группа автоморфизмов любой алгебры над полем вещественных чисел является группой Ли. Отсюда мы выводим, что группа автоморфизмов связной группы Ли есть группа Ли.