§ V. Представление GL(n, С) в виде топологического произведения
Предложение 1. Любая регулярная матрица
может быть записана, и притом лишь единственным способом, в виде произведения
унитарной матрицы
и положительно определенной матрицы а.
Будем рассматривать
как линейный эндоморфизм векторного пространства
Для любого вектора а из
имеем (см. формулу (1) § III, стр. 21):
Согласно предложению
стр. 23, отсюда следует, что матрица
эрмитова. Далее, для собственного вектора а матрицы
соответствующего характеристическому корню
имеем
та, откуда
Так как
регулярна, то она является положительно определенной матрицей.
Согласно предложению 2 § IV, стр. 23—24, существует унитарная матрица
такая, что матрица
является диагональной. Так как диагональные коэффициенты матрицы — вещественные положительные числа, то существует вещественная диагональная матрица 8 такая, что
при этом диагональные коэффициенты в
могут быть взяты положительными. Отсюда следует, что
есть положительно определенная матрица и
Положим
откуда
откуда
Таким
образом,
унитарна, и
Предположим теперь, что
где
унитарные,
положительно определенные матрицы. Положим
тогда
унитарна и
Отсюда следует, что
Согласно предложению
стр. 26, имеем аехр,
где и
-эрмитовы матрицы, и следовательно
Согласно предложению
отсюда следует, что
значит
Поэтому
единичная матрица и
что к завершает доказательство предложения 1.
Замечание. Из предложения 1 легко следует, что регулярная матрица
может быть также записана, снова единственным образом, в виде
где
унитарная,
положительно определенная матрицы.
Предложение 2. Любая комплексная ортогональная матрица
может быть записана, и притом лишь единственным образом, в виде
где
вещественная ортогональная,
вещественная кососимметричная матрицы.
Согласно предложению 1, имеем
где
унитарная,
положительно определенная матрицы. Условие ортогональности
дает:
Как мы знаем, а можно представить в виде
с эрмитовой поэтому
снова эрмитова. Матрица
а потому также
унитарна. Так как
— эрмитова, то единственность, утверждаемая в замечании, следующем за доказательством предложения 1, дает, что
имеем
и значит
вещественная ортогональная.
Равенство
дает
Принимая во внимание предложение
стр. 26, мы видим, что
т. е. косо-симметрична. Так как, вместе с тем,
то
(V Если положить
то
будет вещественной косо-симметричной.
Обратно, любая вещественная ортогональная матрица является также унитарной, и если
вещественная косо-симметричная, то
эрмитова и
положительно определенная. Поэтому единственность, утверждаемая в предложении 2, следует из предложения 1.
Сомножители
а разложения матрицы
устанавливаемого предложением 1, являются непрерывными функциями от
Действительно, пусть
— последовательность регулярных матриц, сходящаяся к некоторой регулярной матрице
и пусть
эрмитово положительны. Вследствие компактности
последовательность
содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу
Соответствующие матрицы
очевидно, стремятся к пределу
Так как совокупность всех эрмитово положительных матриц, очевидно, замкнута, то а эрмитово положительна. Вследствие регулярности матриц