§ V. Представление GL(n, С) в виде топологического произведения

Предложение 1. Любая регулярная матрица может быть записана, и притом лишь единственным способом, в виде произведения унитарной матрицы и положительно определенной матрицы а.

Будем рассматривать как линейный эндоморфизм векторного пространства Для любого вектора а из имеем (см. формулу (1) § III, стр. 21):

Согласно предложению стр. 23, отсюда следует, что матрица эрмитова. Далее, для собственного вектора а матрицы соответствующего характеристическому корню имеем та, откуда Так как регулярна, то она является положительно определенной матрицей.

Согласно предложению 2 § IV, стр. 23—24, существует унитарная матрица такая, что матрица является диагональной. Так как диагональные коэффициенты матрицы — вещественные положительные числа, то существует вещественная диагональная матрица 8 такая, что при этом диагональные коэффициенты в могут быть взяты положительными. Отсюда следует, что есть положительно определенная матрица и

Положим откуда откуда Таким образом, унитарна, и

Предположим теперь, что где унитарные, положительно определенные матрицы. Положим тогда унитарна и Отсюда следует, что Согласно предложению стр. 26, имеем аехр, где и -эрмитовы матрицы, и следовательно Согласно предложению отсюда следует, что значит Поэтому

единичная матрица и что к завершает доказательство предложения 1.

Замечание. Из предложения 1 легко следует, что регулярная матрица может быть также записана, снова единственным образом, в виде где унитарная, положительно определенная матрицы.

Предложение 2. Любая комплексная ортогональная матрица может быть записана, и притом лишь единственным образом, в виде где вещественная ортогональная, вещественная кососимметричная матрицы.

Согласно предложению 1, имеем где унитарная, положительно определенная матрицы. Условие ортогональности дает: Как мы знаем, а можно представить в виде с эрмитовой поэтому снова эрмитова. Матрица а потому также унитарна. Так как — эрмитова, то единственность, утверждаемая в замечании, следующем за доказательством предложения 1, дает, что имеем и значит вещественная ортогональная.

Равенство дает Принимая во внимание предложение стр. 26, мы видим, что т. е. косо-симметрична. Так как, вместе с тем, то (V Если положить то будет вещественной косо-симметричной.

Обратно, любая вещественная ортогональная матрица является также унитарной, и если вещественная косо-симметричная, то эрмитова и положительно определенная. Поэтому единственность, утверждаемая в предложении 2, следует из предложения 1.

Сомножители а разложения матрицы устанавливаемого предложением 1, являются непрерывными функциями от Действительно, пусть — последовательность регулярных матриц, сходящаяся к некоторой регулярной матрице и пусть эрмитово положительны. Вследствие компактности последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу Соответствующие матрицы очевидно, стремятся к пределу Так как совокупность всех эрмитово положительных матриц, очевидно, замкнута, то а эрмитово положительна. Вследствие регулярности матриц

положительно определенная. Но существует лишь одно разложение матрицы в произведение унитарной и положительно определенной матриц. Отсюда следует, что все сходящиеся подпоследовательности из последовательности имеют тот же предел откуда

Тем самым наше утверждение доказано. Из него легко следует, что матрицы предложения 2 являются непрерывными функциями комплексной ортогональной матрицы

Совокупность всех положительно определенных матриц порядка гомеоморфна пространству (предложение 6 § IV, стр. 27—28). Совокупность всех косо-симметричных вещественных матриц порядка , очевидно, гомеоморфна пространству

Таким образом, мы пришли к следующим результатам:

Предложение 3. Пространство гомеоморфно топологическому произведению пространств и Пространство гомеоморфно топологическому произведению пространств и