§ I. Определение топологической группы

Топологическая группа есть составной объект, образованный группой О и топологическим пространством 33, удовлетворяющими следующим условиям: 1) совокупность точек пространства совпадает с совокупностью элементов группы отображение пространства на 23 непрерывно. Мы будем называть базисной группой, базисным пространством топологической группы

К топологической группе применимо любое теоретико-групповое понятие (например, свойство быть коммутативной), равно как и любое топологическое понятие (например, свойство быть связной, или компактной, и т. д.).

Очевидно, отображение топологической группы на себя есть гомеоморфизм и отображение произведения на непрерывно. Обратно, эти два условия в совокупности влекут за собой сформулированное выше условие 2).

Примеры топологических групп

1) Аддитивная группа вещественных чисел есть базисная группа топологической группы, имеющей своим базисным пространством обыкновенное пространство вещественных чисел действительно, разность есть непрерывная функция пары вещественных чисел.

2) Группа с топологией, определенной на ней в главы I, стр. 10, дает топологическую группу, которую мы также будем обозначать через

3) Пусть любая группа и — дискретное топологическое пространство, совокупностью точек которого служит совокупность элементов группы Группа и пространство образуют топологическую группу. Такая группа называется дискретной.

Покажем теперь, как, исходя из уже определенных топологических групп, строить новые.

Подгруппы топологической группы

Пусть — подгруппа топологической группы Совокупность всех элементов, входящих в есть вместе с тем совокупность всех точек некоторого подпространства базисного пространства группы Это подпространство в соединении с образует топологическую группу которую мы будем называть топологической подгруппой группы

Так, например, группы определенные в главы I, являются базисными группами топологических подгрупп группы Группы (определенные в главы I) являются базисными группами топологических подгрупп группы

Произведения топологических групп

Пусть семейство топологических групп; а — индекс, пробегающий некоторое множество. Пусть базисные группа и пространство топологической группы Прямое произведение есть группа, а произведение пространство. Группа и пространство 93 составлены из одних и тех же элементов. Далее, отображение пространства на непрерывно. Действительно, имеет -координатой где и суть -координаты элементов является непрерывной функцией пары которая, в свою очередь, есть непрерывная функция пары Поэтому каждая координата элемента является непрерывной функцией пары чем наше утверждение и доказано.

Таким образом, группа и пространство порождают некоторую топологическую группу сна называется произведением групп и обозначается через

Например, аддитивная группа есть базисная группа произведений групп, тождественных с имеющего своим базисным пространством обыкновенное декартово пространство Rn.