§ I. Аксиоматическое определение многообразия

Пусть - топологическое пространство и какая-нибудь его точка. Рассмотрим вещественных функций определенных в некоторой окрестности этой точки. Мы будем говорить, что аналитически зависит в окрестности точки или вблизи если существуют окрестность V точки и функция от вещественных аргументов, удовлетворяющие следующим условиям:

1) Функции определены на

2) Область определения функции содержит системы значений для всех

3) Для всех имеем:

4) Функция аналитична в точке

Предположим теперь, что связно и что каждой точке отнесен класс вещественных функций, удовлетворяющий следующим условиям:

I. Каждая функция из определена в некоторой окрестности точки (эта окрестность может зависеть от функции).

II. Каждая функция, аналитически зависящая вблизи от конечного числа функций из сама принадлежит Можно найти упорядоченную систему функций из окрестность V точки и число такие, что:

1) Функции определены на

2) Если каждой точке отнести точку с координатами то будет гомеоморфным отображением окрестности V на множество точек пространства удовлетворяющих неравенствам

3) Функции принадлежат классу для каждого и каждая функция из аналитически зависит от вблизи

При этих условиях мы будем говорить, что нам задано многообразие Таким образом, для определения многообразия мы должны сперва задать топологическое пространство а затем выбрать для каждой точки некоторый класс вещественных функций.

Пространство называется базисным топологическим пространством многообразия 0. Класс называется классом аналитических функций на X в точке

Базисное пространство многообразия не может быть произвольным топологическим пространством, поскольку мы потребовали, чтобы оно было связным и, кроме того, из III следует, что каждая его точка должна обладать окрестностью, гомеоморфной кубу в некотором декартовом пространстве.

Заметим, что если упорядоченная система окрестнбсть V и число обладают свойствами 1), 2) и 3) условия III, то эти свойства сохраняются, если, не меняя , произвести произвольную перестановку функций . С другой стороны, свойство 2) предполагает, что функции различны. Таким образом, свойства 1), 2), 3) представляют собой свойства конечного множества (а также, разумеется, окрестности V и числа а).

Определение 1. Если система окрестность V и число а обладают свойствами 1), 2) и 3), то мы будем говорить, что есть система координат на многообразии X) в точке кубическая окрестность точки относительно этой системы координат. Число а называется шириной куба V относительно системы координат

Замечания. 1) Если система координат в точке кубическая окрестность точки относительно этой системы, то будет также системой координат в любой точке из

2) Если система координат в то любая окрестность точки содержит кубическую окрестность относительно этой системы.

3) Если функция, аналитическая в точке на 0, то существует окрестность V точки такая, что аналитична также в любой точке Действительно, пусть

система координат в точке тогда существует окрестность этой точки такая, что определены на и

где функция от аргументов, аналитическая в точке Эта функция определена и аналитична также в некоторой окрестности этой точки в и мы можем найти кубическую окрестность V точки относительно системы такую, что и для всех Тогда аналитична в каждой точке

Мы будем говорить, что (1) есть выражение функции через координаты Заметим, что функция действительно зависит от того, как упорядочены функции, образующие систему координат.

Предложение 1. Пусть система координат в точке на многообразии X) и конечное число функций из Для того чтобы была системой координат в необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

2) выражение функции через координаты функциональный определитель

при отличен от нуля.

1) Условия необходимы. Действительно, если система координат в то функция может быть выражена в окрестности точки в виде -функция от вещественных аргументов, определенная и аналитическая в окрестности точки При этом имеем:

где точки из принадлежащие достаточно малым окрестностям точек Отсюда

Положим

Из первой системы уравнений следует, что линейные уравнения

разрешимы при любых правых частях Поэтому мы должны иметь и матрица есть матрица ранга Таким же образом вторая система уравнений дает поэтому чем необходимость наших условий и доказана.

2) Обратно, предположим, что условия 1), 2) выполнены. Пусть V — кубическая окрестность точки относительно системы — ширина этого куба Взяв а достаточно малым, можно считать, что функции определены и аналитичны в каждой точке, принадлежащей По теореме о неявных функциях, существуют два числа таких, что для любых вещественных чисел удовлетворяющих условиям

уравнения

обладают одним и только одним решением удовлетворяющим условиям

причем это решение задается равенствами вида

где функции аналитичны в кубе определенном неравенствами (2).

Без ограничения общности можно считать, что Относя каждой точке точку с координатами

имеем

Это показывает, что есть гомеоморфное отображение куба на некоторое подмножество из Но можно найти число такое, что

для всех точек удовлетворяющих условиям

при этом можно считать, что Поэтому содержит все точки для. которых выполняются неравенства чем доказано, что есть окрестность точки Каждая из функций аналитически зависит от вблизи любой точки так как

Отсюда следует, что любая функция аналитически зависит от вблизи Таким образом система и окрестность и число обладают свойствами 1),

2), 3) условия III. Другими словами, есть система координат в кубическая окрестность точки относительно этой системы.

Следствие. Число функций, образующих систему координат в точке многообразия 0, одинаково для всех систем координат в этой точке.

Это число функций называется размерностью многообразия в точке Размерность не зависит от точки Действительно, из замечания 1 на стр. 107 непосредственно следует, что обладает окрестностью V такой, что размерность многообразия X) одинакова для всех точек этой окрестности. Пусть теперь для каждого целого совокупность тех точек многообразия X), в которых оно имеет размерность Тогда все множества открытые; они попарно не пересекаются и каждая точка из X) принадлежит одному из них. Так как связное топологическое пространство, то все эти

множества, кроме одного, - пустые; этим наше утверждение и доказано.

Общее значение размерности многообразия во всех его точках называется просто размерностью этого многообразия.