Так как
упорядоченные системы координат на ориентированном многообразии 0, то
Кроме того,
и
Поэтому формула (2) сразу следует из классической формулы замены координат в кратном интеграле.
Таким образом, заключаем, что число
определенное формулой (1), зависит только от
Мы положим
и этой формулой определим интегрирование функций
обладающих свойством
Из нашего определения с очевидностью вытекают следующие свойства:
1) Если
непрерывные функции, равные нулю вне одного и того же кубического множества V, то для любых вещественных чисел
имеем:
2) Если
обладает свойством
то и
для любой непрерывной функции
обладает свойством
Распространим теперь определение нашего процесса интегрирования на более широкий класс функций. Мы будем говорить, что непрерывная функция
равна нулю у бесконечности, если она может быть представлена в виде суммы конечного числа функций, обладающих свойством
Мы утверждаем, что если
— два таких представления функции
то
— непрерывная функция, равная 1 на
и такая, что каждое слагаемое
обладает свойством
Имеем
и так как, при фиксированном
все функции
равны нулю вне одного и того же относительно компактного кубического множества, то, в силу отмеченного выше свойства 1),
С другой стороны, функции
при фиксированном а, также равны нулю вне одного и того же кубического множества, и дают в сумме
так что
и аналогичная формула имеет место для
Поэтому, складывая
формул (4) для
и получим формулу (3).
Мы можем теперь определить интеграл
функции
равной нулю у бесконечности, как общее значение всех выражений
Для всех представлений функции
в виде суммы конечного числа функций, обладающих свойством
Если каждая из функций
равна нулю у бесконечности, то и функция для любых вещественных чисел
и
обладает тем же свойством, и мы имеем
Если дифференциальная форма
на ориентированном многообразии всюду положительна, то мы можем утверждать, что интеграл (относительно
неотрицательной непрерывной функции
равной нулю у бесконечности, неотрицателен, и даже что он положителен, если только
не равна тождественно нулю. Действительно, очевидно, достаточно доказать эти утверждения для функции
обладающей свойством
но в этом
случае они непосредственно следуют из определения, если принять во внимание, что функция
в формуле (1) положительна.
Пусть
-последовательность непрерывных функций на
равномерно сходящаяся к некоторой функции
тогда для любой непрерывной функции
, равной нулю у бесконечности, имеем:
Для доказательства разлагаем
в сумму функций, обладающих свойством
и замечаем, что для таких функций наша формула непосредственно следует из определения интеграла.
Замечание. Непрерывная функция равна нулю у бесконечности, тогда и только тогда, когда она равна нулю вне какого-нибудь компактного подмножества из
Утверждение «только тогда» - тривиально. Обратно, пусть
равна нулю вне компактного множества
. В силу леммы, существует функция
равная 1 на
слагаемые которой
обладают свойством
Имеем
и показывает, что
равна нулю у бесконечности.
В частности, на компактном многообразии каждая непрерывная функция равна нулю у бесконечности.
Влияние аналитического изоморфного отображения
Пусть
ориентированные многообразия размерности
и
аналитическое изоморфное отображение базисного многообразия для
на базисное многообразие для Если
-дифференциальная форма порядка
на
то
будет дифференциальной формой порядка
на
при этом, если
точка многообразия
такая, что
то и
Однако, если
положительна на то
может быть как положительной, так и отрицательной на
Если для каждой точки
и каждой формы
удовлетворяющей условию
форма
имеет тот же знак, что и
мы будем говорить, что отображение
сохраняет ориентацию.
Это условие допускает следующую эквивалентную формулировку: если функции
образуют упорядоченную систему координат в точке
на то функции
образуют упорядоченную систему координат в точке
на
Пусть
сохраняющее ориентацию аналитическое изоморфное отображение ориентированного многообразия X) на
непрерывная дифференциальная форма порядка
на
и
-непрерывная функция на X, равная нулю у бесконечности.
Так как
гомеоморфизм, то из сделанного только что замечания непосредственно следует, что функция
равна нулю у бесконечности на
Мы утверждаем, что имеет место формула
Очевидно, достаточно доказать эту формулу для того случая, когда
равна нулю вне некоторого относительно компактного кубического множества V из X). В этом случае мы можем найти точку
упорядоченную систему координат
на
такие, что V будет кубической окрестностью точки
относительно этой системы.
Так как отображение
сохраняет ориентацию, то функции
образуют упорядоченную систему координат в точке
на При этом
есть кубическая окрестность точки
относительно указанной системы, имеющая ту ширину, что и
можно выразить в
формулой
С другой стороны, для точек К, имеем
Но тогда
и
Отсюда непосредственно следует, что обычные кратные интегралы, дающие (по определению) значения левой и правой
частей формулы (6), на самом деле представляют собой один и тот же интеграл, чем формула (6) и доказана.
Интегрирование по произведению двух многообразий
Пусть теперь X и — ориентированные многообразия, соответственно, размерностей
Допустим, что нам заданы
-линейная дифференциальная форма от на
и
-линейная дифференциальная форма
на Образуем произведение
и обозначим проекции его на X и соответственно, через и
Тогда
дифференциальные формы на
и значит
дифференциальная форма порядка
на
Мы буде
обозначать ее просто через Если формы
и непрерывны, то форма также непрерывна.
Пусть
непрерывная функция, равная нулю у бесконечности
Тогда, для каждого фиксированного
равна нулю у бесконечности и функция
рассматриваемая как функция на X). Действительно, если С — компактное множество на
такое, что
вне С, то
компактно и, для каждого
равна нулю вне
Докажем, что
(заметим, что
если
не содержится в
Множества
где
относительно компактные кубические подмножества из X, являются открытыми
Рассуждения, использованные в доказательстве леммы 1 (стр. 237), сразу показывают, что существует непрерывная функция
равная 1 на С и выражающаяся в виде конечной суммы
каждое слагаемое которой
равно нулю вне одного из множеств
Так как