§ VII. Интегрирование дифференциальных форм

Пусть ориентированное многообразие размерности дифференциальная форма порядка на Нашей целью будет показать, что форму можно использовать в качестве элемента интеграла на 4).

Будем называть множество V точек многообразия являющееся кубической окрестностью некоторой точки относительно какой-нибудь системы координат в кубическим множеством. Будем говорить, что вещественная функция определенная на обладает свойством если она непрерывна и существует относительно компактное кубическое множество V, вне которого она равна нулю.

Пусть - такая функция. Мы можем найти точку упорядоченную систему координат на и кубическую окрестность V точки относительно этой системы такие, что вне V равна нулю. Пусть а — ширина куб в определенный неравенствами Для каждой точки имеем

где непрерывные функции на При этом функция ограничена на и стремится к нулю при приближении точки к границе куба Поэтому интеграл

определен. Докажем, что значение этого интеграла не зависит от выбора Пусть та же или другая точка на - упорядоченная система координат в на — кубическая окрестность точки относительно этой системы — такие, что вне V равна нулю. Обозначим через куб из определенный неравенствами где -ширина Мы должны доказать справедливость равенства

где определены (для точек формулами

Функция равна нулю вне Пусть образы множества при отображениях

открытые подмножества, соответственно, кубов и интегралы, входящие в доказываемую формулу, не изменятся, если мы сузим области интеграции соответственно, до .

Пусть -координаты точки можно выразить в виде функций

от ее -координат причем эти функции определены и аналитичны на и соответствие

топологически отображает Полагая

имеем:

Так как упорядоченные системы координат на ориентированном многообразии 0, то

Кроме того,

и

Поэтому формула (2) сразу следует из классической формулы замены координат в кратном интеграле.

Таким образом, заключаем, что число определенное формулой (1), зависит только от Мы положим

и этой формулой определим интегрирование функций обладающих свойством

Из нашего определения с очевидностью вытекают следующие свойства:

1) Если непрерывные функции, равные нулю вне одного и того же кубического множества V, то для любых вещественных чисел имеем:

2) Если обладает свойством то и для любой непрерывной функции обладает свойством

Распространим теперь определение нашего процесса интегрирования на более широкий класс функций. Мы будем говорить, что непрерывная функция равна нулю у бесконечности, если она может быть представлена в виде суммы конечного числа функций, обладающих свойством Мы утверждаем, что если

— два таких представления функции то

Для доказательства нам понадобится следующая лемма Лемма 1. Пусть относительно компактное псдмножество многообразия Существует непрерывная функция равная нулю у бесконечности и равная 1 на

Пусть Е - «замыкание множества в ; Е - компактное множество. Выберем в каждой точке систему координат и кубическую окрестность относительно этой системы. Определим функцию формулами

где ширина Функции непрерывны. Так как компактно, то оно может быть покрыто конечным числом множеств пусть это будут, скажем, множества

Функция , нигде на не обращается в нуль и потому имеет на минимум Положим

функция непрерывна, всюду и на равна Очевидно, функция

и будет тогда обладать требуемыми свойствами.

Теперь мы уже можем доказать формулу (3). Пусть множество тех точек, в которых по крайней мере одна из функций отлична от нуля. Очевидно, относительно компактно и потому мы можем применить к нему нашу лемму. Пусть

— непрерывная функция, равная 1 на и такая, что каждое слагаемое обладает свойством Имеем

и так как, при фиксированном все функции равны нулю вне одного и того же относительно компактного кубического множества, то, в силу отмеченного выше свойства 1),

С другой стороны, функции при фиксированном а, также равны нулю вне одного и того же кубического множества, и дают в сумме так что

и аналогичная формула имеет место для Поэтому, складывая формул (4) для и получим формулу (3).

Мы можем теперь определить интеграл функции равной нулю у бесконечности, как общее значение всех выражений Для всех представлений функции в виде суммы конечного числа функций, обладающих свойством

Если каждая из функций равна нулю у бесконечности, то и функция для любых вещественных чисел и обладает тем же свойством, и мы имеем

Если дифференциальная форма на ориентированном многообразии всюду положительна, то мы можем утверждать, что интеграл (относительно неотрицательной непрерывной функции равной нулю у бесконечности, неотрицателен, и даже что он положителен, если только не равна тождественно нулю. Действительно, очевидно, достаточно доказать эти утверждения для функции обладающей свойством но в этом

случае они непосредственно следуют из определения, если принять во внимание, что функция в формуле (1) положительна.

Пусть -последовательность непрерывных функций на равномерно сходящаяся к некоторой функции тогда для любой непрерывной функции , равной нулю у бесконечности, имеем:

Для доказательства разлагаем в сумму функций, обладающих свойством и замечаем, что для таких функций наша формула непосредственно следует из определения интеграла.

Замечание. Непрерывная функция равна нулю у бесконечности, тогда и только тогда, когда она равна нулю вне какого-нибудь компактного подмножества из

Утверждение «только тогда» - тривиально. Обратно, пусть равна нулю вне компактного множества . В силу леммы, существует функция равная 1 на слагаемые которой обладают свойством Имеем и показывает, что равна нулю у бесконечности.

В частности, на компактном многообразии каждая непрерывная функция равна нулю у бесконечности.

Влияние аналитического изоморфного отображения

Пусть ориентированные многообразия размерности и аналитическое изоморфное отображение базисного многообразия для на базисное многообразие для Если -дифференциальная форма порядка на то будет дифференциальной формой порядка на при этом, если точка многообразия такая, что то и Однако, если положительна на то может быть как положительной, так и отрицательной на Если для каждой точки и каждой формы удовлетворяющей условию форма имеет тот же знак, что и мы будем говорить, что отображение сохраняет ориентацию.

Это условие допускает следующую эквивалентную формулировку: если функции образуют упорядоченную систему координат в точке на то функции образуют упорядоченную систему координат в точке на Пусть сохраняющее ориентацию аналитическое изоморфное отображение ориентированного многообразия X) на непрерывная дифференциальная форма порядка на и -непрерывная функция на X, равная нулю у бесконечности.

Так как гомеоморфизм, то из сделанного только что замечания непосредственно следует, что функция равна нулю у бесконечности на Мы утверждаем, что имеет место формула

Очевидно, достаточно доказать эту формулу для того случая, когда равна нулю вне некоторого относительно компактного кубического множества V из X). В этом случае мы можем найти точку упорядоченную систему координат на такие, что V будет кубической окрестностью точки относительно этой системы.

Так как отображение сохраняет ориентацию, то функции

образуют упорядоченную систему координат в точке на При этом есть кубическая окрестность точки относительно указанной системы, имеющая ту ширину, что и можно выразить в формулой

С другой стороны, для точек К, имеем

Но тогда

и

Отсюда непосредственно следует, что обычные кратные интегралы, дающие (по определению) значения левой и правой

частей формулы (6), на самом деле представляют собой один и тот же интеграл, чем формула (6) и доказана.

Интегрирование по произведению двух многообразий

Пусть теперь X и — ориентированные многообразия, соответственно, размерностей Допустим, что нам заданы -линейная дифференциальная форма от на и -линейная дифференциальная форма на Образуем произведение и обозначим проекции его на X и соответственно, через и Тогда дифференциальные формы на и значит дифференциальная форма порядка на Мы буде обозначать ее просто через Если формы и непрерывны, то форма также непрерывна.

Пусть непрерывная функция, равная нулю у бесконечности Тогда, для каждого фиксированного равна нулю у бесконечности и функция рассматриваемая как функция на X). Действительно, если С — компактное множество на такое, что вне С, то компактно и, для каждого равна нулю вне Докажем, что

(заметим, что если не содержится в

Множества где относительно компактные кубические подмножества из X, являются открытыми Рассуждения, использованные в доказательстве леммы 1 (стр. 237), сразу показывают, что существует непрерывная функция равная 1 на С и выражающаяся в виде конечной суммы каждое слагаемое которой равно нулю вне одного из множеств Так как

то достаточно доказать формулу (7) при дополнительном предположении, что равна нулю вне некоторого множества вида где — относительно компактные кубические подмножества из

В силу предположения, мы можем найти точки и упорядоченные системы координат соответственно, в на такие, что являются кубическими окрестностями точек относительно этих систем; пусть а — ширина ширина

Для точек имеем:

и

Полагая

будем иметь:

Поэтому

где подмножество из определенное неравенствами подмножество из определенное неравенствами заменяет аргументы — аргументы

Отсюда следует, что

а это и есть как раз то, что утверждается формулой (7).