§ XI. Присоединенное представление

Пусть - аналитическая группа и — ее алгебра Ли. Под аналитическим эндоморфизмом группы мы будем понимать ее аналитическое гомоморфное отображение в себя. Аналитический эндоморфизм, являющийся одновременно аналитическим изоморфным отображением многообразия на себя, мы будем называть аналитическим автоморфизмом группы 0. Ясно, что аналитические автоморфизмы группы образуют некоторую группу А.

Пусть а — какой-нибудь элемент из А. Тогда есть гомоморфное отображение алгебры в себя. При этом формула (е — тождественное отображение) показывает, что есть отображение, обратное к Отсюда следует, что есть автоморфизм алгебры линейное отображение ее на себя такое, что

для всех Отображение а очевидно, являете линейным представлением группы А. Это представление — точное. Действительно, предположим, что

согласно предложению 1 § IX, стр. 174, имеем тогда

так что а оставляет на месте все элементы некоторой окрестности V нейтрального элемента в Так как группа связна, то она порождается элементами окрестности К, и а оставляет инвариантным каждый элемент из Этим наше утверждение и доказано.

Пусть теперь любой элемент из обозначим через отображение группы Очевидно, и есть гомоморфное отображение группы в А.

Определение 1. Отображение называется присоединенным представлением группы

Предложение 1. Присоединенное представление группы есть аналитическое гомоморфное отображение ее в группу

Пусть - базис алгебры Ли группы -«каноническая система координат относительно этого базиса. Пусть

так что матрицей, представляющей при присоединенном представлении, служит Если то, в силу предложения 1 § IX, стр. 174, имеем:

Поэтому величины (при достаточно малом являются каноническими координатами для Но из формулы

стр. 179, мы знаем, что эти координаты являются аналитическими функциями от в окрестности Это доказывает, что присоединенное представление аналитично в а потому и всюду (см. замечание в конце § VI, стр. 166).

Пусть А — присоединенное представление. Тогда есть гомоморфное отображение алгебры Пусть произвольный элемент из есть некоторая матрица X, а матрица согласно предложению 1 § IX, стр. 174, равна Поэтому

где «единичная матрица. По формуле стр. 179, имеем:

где остается ограниченным при Поэтому матрица рассматриваемая как линейный эндоморфизм пространства отображает любой элемент на

Пусть теперь любая алгебра Ли над каким-нибудь полем К. Матрицы порядка с коэффициентами из образуют алгебру Ли с законом композиции

Определение 2. Пусть алгебра Ли над полем Гомоморфное отображение алгебры мы будем называть ее представлением (над К, степени

Пусть -любой элемзнт из отображение алгебры в себя. Выбрав в какой-нибудь базис, мы можем, представить в виде некоторой матрицы порядка Отображение очевидно, линейно, кроме того,

откуда

Таким образом, есть представление алгебры

Определение 3. Отображение, относящее каждому линейный эндоморфизм алгебры определенный формулой

называется присоединенным представлением алгебры

Возвращаясь теперь к тому случаю, когда есть алгебра Ли аналитической группы 0, мы видим, что отображение, обозначенное выше через является присоединенным представлением алгебры

Пусть любая аналитическая подгруппа группы и — ее алгебра Ли. Очевидно, также есть аналитическая подгруппа группы 0, причем ее алгеброй Ли служит образ алгебры при отображении Поэтому для инвариантности группы необходимо и достаточно, чтобы каждая операция преобразовывала алгебру в себя. Этому условию можно придать еще другую форму. Предположим, что оно выполнено; тогда при мы имеем для каждого и каждого откуда

так что является идеалом в Обратно, предположим, что — идеал в пусть -любой элемент из и представляющая его матрица при присоединенном представлении

алгебры Имеем: и так как элементу соответствует то заключаем, что Но элементы для которых очевидно, образуют подгруппу в ; эта подгруппа содержит все элементы и тем самым — целую окрестность нейтрального элемента группы Так как связна, то заключаем, что наша подгруппа совпадает со всей группой чем и доказана инвариантность подгруппы соответствующей идеалу

Таким образом мы доказали следующий результат, уже анонсированный в стр. 168:

Предл ожение 2. Для того чтобы аналитическая подгруппа аналитической группы 9 была инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была идеалом в алгебре Ли группы

Ядром присоединенного представления группы очевидно, служит центр этой группы. Ядром присоединенного представления алгебры Ли (т. е. совокупностью элементов отображающихся при присоединенном представлении в нулевой элемент) служит совокупность элементов таких, что для всех

Определение 4. Центром алгебры Ли называется совокупность тех элементов для которых каково бы ни было

Центр алгебры Ли, очевидно, является идеалом.

Из следствия 4 предложения стр. 175, непосредственно вытекает

Предложение 3. Компонента нейтрального элемента в центре аналитической группы 9 является базисной группой замкнутой аналитической подгруппы группы имеющей своей алгеброй Ли центр алгебры Ли группы Пусть теперь любая алгебра Ли над полем и ее присоединенное представление. Тогда есть подалгебра алгебры и потому в существует аналитическая подгруппа, имеющая своей алгеброй Ли (см. теорему 1, стр. 160). С другой стороны, изоморфно где с — центр алгебры Это приводит к следующему результату:

Предложение 4. Для каждой алгебры над полем существует аналитическая группа, алгебра Ли которой изоморфна где с — центр алгебры

Отсюда, в частности, следует, что если центр алгебры Ли содержит только нулевой элемент, то существует аналитическая группа, алгебра Ли которой изоморфна На самом деле,

ограничение, наложенное на центр алгебры Ли, не нужно, и результат остается справедливым для всех алгебр Ли без исключения; но доказательство его уже значительно труднее.