§ XIV. Признак групп Ли

Предложение 1. Локально компактная топологическая группа допускающая непрерывное взаимно однозначное гомоморфное отображение И в группу Ли сама является группой Ли.

Пусть совокупность всех непрерывных гомоморфных отображений аддитивной группы Каждому соответствует элемент алгебры Ли группы определяемый формулой

Элементы соответствующие всевозможным элементам образуют в подмножество Обозначим через максимальное число линейно независимых элементов, содержащихся в может быть a priori и нулем), и построим базис алгебры первые элементов которого принадлежат Пусть каноническая система координат в нейтральном элементе группы соответствующая этому базису, и кубическая окрестность элемента относительно этой системы.

Так как непрерывное отображение, то в существует компактная окрестность нейтрального элемента такая, что Пусть В — граница множества В — компактное множество и не содержит элемента Так как отображение взаимно однозначно, то не содержит элемента Поэтому существует число (меньшее ширины куба такое, что

Пусть V — кубическая окрестность элемента — ее ширина.

Для каждого элемента положим

Лемма 1. Пусть последовательность элементов из сходится к так, что каждая из последовательностей сходится к некоторому пределу

Тогда принадлежит и, если соответствующий элемент из имеем: при

Для каждого существует наибольшее целое числэ обладающее следующими двумя свойствами: 1)

Для всех целых неотрицательных не превосходящих Пусть любая предельная точка последовательности так как то

откуда

далее, (Но) есть предельная точка числовой последовательности значит,

В частности, никакая предельная точка последовательности не может принадлежать множеству В.

Каково бы ни было всегда либо выполняется неравенство либо не принадлежит окрестности Пусть -множество тех номеров для которых осуществляется вторая из этих возможностей. Если бы множество К было бесконечным, то элементы для составляли бы бесконечную последовательность, имеющую (вследствие компактности множества хотя бы одну предельную точку Но так как то была бы также предельной точкой для последовательности элементов, принадлежащих дополнению окрестности Следовательно,

принадлежала бы множеству В, что, однако, как мы видели, невозможно. Поэтому для достаточно больших имеем:

и, значит,

Пусть любое неотрицательное число, меньшее чем а, и пусть, для каждого — наибольшее целое число, не превосходящее Так как тогда то

Таким образом, и

Так как то

Это показывает, что

С другой стороны, вследствие компактности окрестности отображение будучи непрерывным и взаимно однозначным, отображает гомеоморфно. Поэтому мы можем из формулы (1) заключить, что последовательность к имеет в некоторый предел причем

Заменяя на при достаточно больших мы видим, что существует также элемент для которого

Элемент определен для всех причем для всех этих значений выполняется равенство (2). Из этого равенства непосредственно следует, что при мы имеем:

При этом непрерывная функция от

Так как группа односвязна, то существует непрерывное гомоморфное отображение ее В в такое, что для достаточно малых Соответствующим элементом очевидно, служит Так как для всех то при и лемма 1 доказана.

Следствие. Пусть - элемент из если то при

Это сразу получается применением доказанной леммы, с к последовательности

Докажем теперь, что есть векторное пространство. Во-первых, если для каждого так как соответствует непрерывному гомоморфизму Остается доказать, что если принадлежат то и принадлежит Пусть непрерывные гомоморфные отображения группы такие, что

Положим

При достаточно большом имеем Кроме того,

По формуле (3) § X, стр. 178, получаем:

где функции остаются ограниченными при возрастании

Мы можем без умаления общности предполагать, что тогда для достаточно больших и

где остается ограниченным. Из леммы 1 следует тогда, что

а потому и Доказательство того, что есть векторное пространство, и завершается.

Применял следствие леммы 1, мы видим, что любой элемент вида при является образом некоторого элемента из при отображении

Пусть множество тех элементов для которых

Мы утверждаем, что есть окрестность элемента Элемент

при достаточно малых их принадлежит окрестности V и его координаты выражаются аналитическими функциями При имеем откуда

Отсюда вытекает существование на в точке системы координат такой, что при

имеют место формулы

Пусть кубическая окрестность точки относительно этой системы, имеющая ширину и содержащаяся в

Предположим, что, в противоречие с нашим утверждением, не есть окрестность точки Тогда существует последовательность элементов из не принадлежащих такая, что Имеем для достаточно больших элемент служит образом некоторого элемента при отображении при этом, так как

и - гомеоморфное отображение окрестности то Положим

Для достаточно больших имеем Так как то для достаточно больших Кроме того,

и потому

Так как заменив, в случае надобности, последовательность некоторой ее подпоследовательностью, мы можем без ограничения общности предполагать, что последовательности у стремятся к некоторым пределам Очевидно,

В силу леммы, отсюда следует, что элемент 2 принадлежит пространству Но это противоречит тому, что является базисом этого пространства.

Тем самым наше утверждение, что есть окрестность точки доказано.

Если то Положим

Соответствие, относящее элементу точку очевидно, гомеоморфно отображает на множество точек пространства содержащее куб, определяемый неравенствами

Существует такое, что из следует Пусть множество тех элементов для которых Тогда для любых имеем и функции могут быть выражены

в виде функций от определенных и аналитичных при

То, что есть группа Ли, будет следовать отсюда, если мы сможем доказать

Предл ожение 2. Пусть топологическая группа. Предположим, что существуют окрестность нейтрального элемента а система функций определенных на одладающие следующими свойствами. 1) соответствие

есть гомеоморфное отображение окрестности на куб определенный неравенствами

где а — некоторое положительное число; 2) существуют число функций определенных и аналитичных в области, задаваемой неравенствами

такие, что при условиях

имеют место формулы

Тогда есть группа Ли.

Пусть компонента нейтрального элемента в Так как связная окрестность элемента то очевидно, — открытое множество. Достаточно доказать, что есть группа Ли. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама группа связная.

Обозначим через левый сдвиг в порожденный элементом и через класс вещественных функций, определенных в окрестностях элемента и аналитически зависящих вблизи от функций Мы утверждаем, что соответствие определяет многообразие, базисным пространством которого служит

Условия главы III, стр. 106, очевидно, выполнены. Так как есть гомеоморфное отображение группы на себя, то условия III 1) и 2) в нашем случае также выполнены. Остается проверить выполнение условия III 3). Пусть множество

тех элементов для которых есть окрестность элемента . Поэтому есть окрестность элемента Пусть любой элемент множества так что При имеем:

Это доказывает, что функции принадлежат классу тем самым доказано и свойство III 3).

Таким образом, соответствие определяет некоторое многообразие Отображение произведения в очевидно, аналитично в точке Нужно еще доказать, что оно аналитично всюду.

Из определения многообразия 9 непосредственно следует, что каждый левый сдвиг представляет собой аналитическое изоморфное отображение этого многообразия на себя. То же верно и для правого сдвига порожденного элементом Действительно, предположим сначала, что

Отображение очевидно, аналитично в а правый сдвиг можно осуществить, выполняя сначала отображение У, а затем отображение которое при условиях аналитично в Формула

показывает, что отображение при аналитично в каждой точке Но как окрестность нейтрального элемента в связной группе есть система образующих для Поэтому каждый элемент может быть записан в виде где Имеем тогда

и это показывает, что есть аналитическое отображение для всех

Для того чтобы доказать теперь, что отображение аналитично в каждой точке напишем:

Ясно, что отображение произведения в себя аналитично в точке Так как и аналитические отображения, отображение же

аналитично в точке то заключаем, что оно аналитично и в точке

Таким образом, есть базисное многообразие аналитической группы, базисной топологической группой которой служит и это завершает доказательство предложений 1 и 2.

Следствие. Каждая замкнутая подгруппа группы Ли есть группа Ли.

Действительно, так как группа Ли локально компактна, то это верно и для каждой замкнутой подгруппы группы Ли.

Заметим также, что, как следует из предложения 2, любая топологическая группа, локально изоморфная группе Ли, сама есть группа Ли. Пусть группа Ли. Ясно, что она локально односвязна. Если поэтому группа связна, то она допускает односвязную накрывающую группу и мы видим, что есть группа Ли.