§ IV. Формы Маурера-Картана

Пусть аналитическая группа. Обозначим левый сдвиг, порождаемый элементом через Если аналитичная дифференциальная форма на то и будет такой формой Определение 1. Форма называется лево-инвариантной, если

В этом случае мы, в силу самого определения, имеем:

так что форма однозначно определена, если известно ее значение (где нейтральный элемент группы

Лево-инвариантными дифференциальными формами нулевого порядка являются константы.

Определение 2. Лево-инвариантная пфаффова форма называется формой Маурера-Картана.

Пусть форма Маурера-Картана и лево-инвариантное инфинитезимальное преобразование. Значение формы в точке является линейной функцией на пространстве,

касательном к в ; поэтому символ имеет смысл. Мы утверждаем, что не зависит от Действительно, имеем

Обратно, пусть любая линейная форма, определенная на пространстве, касательном к в точке . Положим соответствие будет пфаффовой формой на и для любого лево-инвариантного инфинитезимального преобразования X будем иметь Тогда

следовательно,

для любого но это означает, что форма инвариантна. Докажем, что она также аналитична. Выберем в точке систему координат и пусть какой-нибудь базис алгебры Ли группы Для элементов достаточно близких к мы можем выразить в виде тогда (см. § IV главы III, стр. 123)

Левые части этих уравнений являются константами. Так как линейно независимы, то определитель

отличен от нуля, и линейные уравнения (1) можно разрешить относительно . И так как функции аналитичны в точке то это же будет верно и для функций чем аналитичность формы и доказана.

Пусть размерность группы Из предшествующего видно, что существует точно линейно независимых форм Маурера-Картана, скажем Ясно, что

для любых констант есть лево-инвариантная дифференциальная форма порядка причем всякая лево-инвариантная дифференциальная форма порядка может быть записана в таком виде.

Любую лево-инвариантную дифференциальную форму порядка полагая

можно рассматривать как -линейную знакопеременную форму на алгебре Ли группы Мы можем поэтому отождествить лево-инвариантные дифференциальные формы с однородными элементами грассмановской алгебры, соответствующей пространству

Если — форма Маурера-Картана, то

так что форма также лево-инвариантна, Мы докажем, что

где любые элементы из

Пользуясь введенными выше обозначениями, имеем:

откуда

С другой стороны,

откуда

и аналогично

Поэтому

чем формула (2) и доказана.

Пусть алгебры Ли Для форм Маурера-Картана можно найти базис дуальный к такой, что

Так как

где структурные константы, то из формулы (2) следует, что

Так как есть линейная комбинация форм то, принимая во внимание равенства заключаем, что

Пусть - система координат на в нейтральном элементе - кубическая окрестность элемента относительно этой системы и а — ширина куба При мы можем записать в виде

где функции определены и аналитичны в области, заданной неравенствами Положим

есть дифференциальная форма первого порядка, определенная в окрестности нулевого элемента пространства Функции при определены и аналитичны в некоторой окрестности точки Лево-инвариантность формы означает, что имеют место соотношения

При достаточной малости величин функции могут быть выражены в виде аналитических

функций от -координат элемента а, и мы видим, что функции

удовлетворяют уравнениям

Эти уравнения называются уравнениями Маурера-Картана.

Определитель при отличен от нуля. Поэтому уравнения (4) разрешимы относительно частных производных и дают для них выражения в виде функций от и

С другой стороны, имеем:

Поэтому, как только выражения для форм Маурера-Картана известны, задача определения функций сводится к интегрированию уравнений (5) с начальными условиями (6). Это, в свою очередь, сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.