Глава II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Краткое содержание. Предметом главы II являются свойства групп, вытекающие из наличия в этих группах топологии. § I содержит определение топологической группы, топологической подгруппы и произведения топологических групп. Оказывается, что во многих случаях изучение топологической группы в окрестности нейтрального элемента доставляет ценные сведения о всей группе (см., например, предложение 5 § III, стр. 53; теорему 1, стр. 54; теорему 3, сгр. 74, и предюжение 2 § XV главы IV, стр. 196. Ввиду этого важно охарактеризовать топологическую структуру топологической группы локально; это выполнено в § II.

Если замкнутая подгруппа топологической группы то смежные классы по модулю образуют топологическое пространство Пространства, которые можно получить таким способом, называются однородными пространствами. Определение этих пространств является предметом § III. Одной из причин важности однородных пространств является то, что они дают наиболее общие представления групп в виде транзитивных групп преобразований (удовлетворяющих известным топологическим условиям). В частности, сферы являются однородными пространствами относительно некоторых линейных групп, введенных в главе Значительная часть наших сведений о топологии этих групп выводится отсюда (см. предложение 3 § IV, стр. 55, и предложение 5 § X, стр. 91).

Если инвариантная подгруппа группы то есть не только пространство, но и топологическая группа. Эти факторгруппы также рассматриваются в § III.

Предметом § IV являются свойства связности топологических групп. Особенно существенно утверждение теоремы 1, стр. 54, позволяющее во многих случаях переходить при изучении топологических групп от локальной их характеристики к интегральной.

Если связная группа, то окрестность V ее нейтрального элемента представляет собой систему образующих этой группы. Руководствуясь идеей локального изучения группы, естественно задаться вопросом, возможно ли построить все соотношения между этими образующими, если закон групповой композиции известен только в V. § V вводит в изучение этого вопроса и связывает его с понятием локального изоморфизма топологических групп. Даются примеры, показывающие, что, вообще говоря, наш ропрос решается отрицательно.

Более углубленное изучение этой проблемы требует ряда чисто топологических рассмотрений, сосредоточивающихся вокруг понятия

накрывающего пространства. §§ VI — IX посвящены разработке этого понятия и его применениям к теории групп. Следуя идее Анри Картана, мы отступили от обычного метода определения односвязности с помощью замкнутых кривых. По нашему мнению, суть дела лежит в понятии накрывающего пространства (как оно введено в определении 3 § VI, стр. 61); грубо говоря, мы определяем односвязное пространство, как пространство, не допускающее дальнейшего накрытия (определение 1 § VII, стр. 66). Как нам кажется, главным свойством односвязных пространств является то, что мы называем принципом монодромии (теорема 2, стр. 70). Основное свойство односвязных групп устанавливается теоремой 3, стр. 74; это — снова принцип продолжения с локального на интегральное. Заметим, что доказательство теоремы 3 дает типичный пример метода применения принципа монодромии.

В § VIII мы определяем понятие группы Пуанкарэ для пространств, допускающих односвязное накрывающее пространство. Группа Пуанкарэ есть группа автоморфизмов односвязного накрывающего пространства и играет тем самым роль, аналогичную роли группы Галуа алгебраического расширения. Устанавливается, что группа Пуанкарэ топологической группы всегда коммутативна и может быть отождествлена с некоторой подгруппой центра односвязной накрывающей группы. В § IX для широкого класса пространств доказывается существование односвязных накрывающих пространств.

В § X мы определяем группы Пуанкарэ некоторых классических групп. Метод состоит в использовании того обстоятельства, что рассматриваемые группы действуют на сферах. Предложение 5 доставляет затем алгорифм, позволяющий находить группы Пуанкарэ индуктивно. Однако полное решение вопроса для группы нелегко получить этим методом. Правда, то, что для при группой Пуанкарэ служит группа второго порядка, можно доказать чисто топологическими методами (используя понятие второй гомотопической группы Гуревича); однако мы предпочли следовать алгебраическим путем, фактически строя односвязную накрывающую группу для Это выполнено в с помощью алгебры чисел Клиффорда.

Алгебраические свойства (центр и идеалы) чисел Клиффорда устанавливаются элегантным методом, устно сообщенным мне В. Баргманом. Затем определяется спинорная группа (определение 1, стр. 100) и доказывается, что она служит односвязной накрывающей группой для .