Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫКраткое содержание. Предметом главы II являются свойства групп, вытекающие из наличия в этих группах топологии. § I содержит определение топологической группы, топологической подгруппы и произведения топологических групп. Оказывается, что во многих случаях изучение топологической группы в окрестности нейтрального элемента доставляет ценные сведения о всей группе (см., например, предложение 5 § III, стр. 53; теорему 1, стр. 54; теорему 3, сгр. 74, и предюжение 2 § XV главы IV, стр. 196. Ввиду этого важно охарактеризовать топологическую структуру топологической группы локально; это выполнено в § II. Если Если Предметом § IV являются свойства связности топологических групп. Особенно существенно утверждение теоремы 1, стр. 54, позволяющее во многих случаях переходить при изучении топологических групп от локальной их характеристики к интегральной. Если Более углубленное изучение этой проблемы требует ряда чисто топологических рассмотрений, сосредоточивающихся вокруг понятия накрывающего пространства. §§ VI — IX посвящены разработке этого понятия и его применениям к теории групп. Следуя идее Анри Картана, мы отступили от обычного метода определения односвязности с помощью замкнутых кривых. По нашему мнению, суть дела лежит в понятии накрывающего пространства (как оно введено в определении 3 § VI, стр. 61); грубо говоря, мы определяем односвязное пространство, как пространство, не допускающее дальнейшего накрытия (определение 1 § VII, стр. 66). Как нам кажется, главным свойством односвязных пространств является то, что мы называем принципом монодромии (теорема 2, стр. 70). Основное свойство односвязных групп устанавливается теоремой 3, стр. 74; это — снова принцип продолжения с локального на интегральное. Заметим, что доказательство теоремы 3 дает типичный пример метода применения принципа монодромии. В § VIII мы определяем понятие группы Пуанкарэ для пространств, допускающих односвязное накрывающее пространство. Группа Пуанкарэ есть группа автоморфизмов односвязного накрывающего пространства и играет тем самым роль, аналогичную роли группы Галуа алгебраического расширения. Устанавливается, что группа Пуанкарэ топологической группы всегда коммутативна и может быть отождествлена с некоторой подгруппой центра односвязной накрывающей группы. В § IX для широкого класса пространств доказывается существование односвязных накрывающих пространств. В § X мы определяем группы Пуанкарэ некоторых классических групп. Метод состоит в использовании того обстоятельства, что рассматриваемые группы действуют на сферах. Предложение 5 доставляет затем алгорифм, позволяющий находить группы Пуанкарэ индуктивно. Однако полное решение вопроса для группы Алгебраические свойства (центр и идеалы) чисел Клиффорда устанавливаются элегантным методом, устно сообщенным мне В. Баргманом. Затем определяется спинорная группа (определение 1, стр. 100) и доказывается, что она служит односвязной накрывающей группой для
|
1 |
Оглавление
|