§ III. Произведения многообразий
Пусть
— многообразия, соответственно, размерностей тип, а
и
— их базисные топологические пространства. Произведение
является связным топологическим пространством, и мы сейчас построим на нем, как на базисном пространстве, некоторое многообразие.
Пусть
точка из
соответственно, — классы аналитических функций в
на
Обозначим через
проекции произведения
соответственно, на
и
Обозначим далее через
класс, состоящий из функций
и всех функций, аналитически зависящих от них вблизи точки
Соответствие
определяет многообразие с базисным пространством
. Действительно, класс
очевидно, удовлетворяет условиям I и II § I. Чтобы проверить выполнение условия III, выберем какие-нибудь системы координат
на
на в
Для достаточно малого положительного а можно найти кубическую окрестность V точки
относительно Системы
и кубическую окрестность
точки
относительно системы
обе — ширины а.
Положим
Функции
определены на
и принадлежат классу
Для каждой точки
При этом каждая функция вида
вблизи
аналитически зависит от
а каждая функция вида
вблизи
аналитически зависит от
Но тогда любая функция из
вблизи
аналитически зависит от
Наконец, относя точке
точку пространства
с координатами
мы, очевидно, получим гомеоморфное отображение произведения
на куб из
со стороной длины а. Таким образом, условие III выполнено.
Полученное так многообразие называется произведением многообразий
и обозначается через
Тем же способом можно определить и произведение любого конечного числа многообразий.
Произведения
трех многообразий 0, и
строго говоря, не представляют собой одного и того же многообразия. Однако между любыми двумя из них имеется естественный аналитический изоморфизм. Так, например, отображение
есть аналитически изоморфное отображение многообразия
на
отображение
аналитически изоморфное отображение многообразия
на