§ III. Произведения многообразий

Пусть — многообразия, соответственно, размерностей тип, а и — их базисные топологические пространства. Произведение является связным топологическим пространством, и мы сейчас построим на нем, как на базисном пространстве, некоторое многообразие.

Пусть точка из соответственно, — классы аналитических функций в на Обозначим через проекции произведения соответственно, на и

Обозначим далее через класс, состоящий из функций и всех функций, аналитически зависящих от них вблизи точки Соответствие

определяет многообразие с базисным пространством . Действительно, класс очевидно, удовлетворяет условиям I и II § I. Чтобы проверить выполнение условия III, выберем какие-нибудь системы координат на на в Для достаточно малого положительного а можно найти кубическую окрестность V точки относительно Системы и кубическую окрестность точки относительно системы обе — ширины а.

Положим

Функции определены на и принадлежат классу Для каждой точки При этом каждая функция вида вблизи аналитически зависит от а каждая функция вида вблизи аналитически зависит от Но тогда любая функция из вблизи аналитически зависит от

Наконец, относя точке точку пространства с координатами

мы, очевидно, получим гомеоморфное отображение произведения на куб из со стороной длины а. Таким образом, условие III выполнено.

Полученное так многообразие называется произведением многообразий и обозначается через Тем же способом можно определить и произведение любого конечного числа многообразий.

Произведения трех многообразий 0, и строго говоря, не представляют собой одного и того же многообразия. Однако между любыми двумя из них имеется естественный аналитический изоморфизм. Так, например, отображение есть аналитически изоморфное отображение многообразия на отображение аналитически изоморфное отображение многообразия на

Многообразие определенное в очевидно, является произведением многообразий, тождественных с Построив произведение многообразий, тождественных с мы получим многообразие, имеющее своим базисным пространством -мерный тор; это многообразие мы будем обозначать через