§ X. Канонические координаты произведений и коммутаторов

Пусть аналитическая группа. Выберем на каноническую систему координат в нейтральном элементе Пусть V — кубическая окрестность ширины а элемента относительно этой системы и — кубическая окрестность ширины элемента такая, что

При имеем:

где функции аналитичны в области, определяемой неравенствами Эти функции можно разложить в ряды по степеням сходящиеся при Мы можем поэтому записать в виде

где полином степени от коэффициенты которого являются аналитическими функциями от Пусть базис алгебры Ли группы соответствующий выбранной нами канонической системе координат Тогда

полагая

получим

в предположении, что

С другой стороны, для любой функции аналитичной в в силу формулы (1) § VIII (стр. 169), имеем:

Применяя последнюю формулу к функциям где

получаем:

Поэтому , рассматриваемая как функция от и, разлагается в окрестности значения в ряд Тэйлора

Если, в частности, причем то, как показывают формулы (1), этот ряд по степеням и сходится при и

Положим теперь

Для любой функции аналитичной в как функция от разлагается в ряд Тэйлора

Применяя эту формулу к функциям окончательно получаем формулы

имеющие место при обозначают тождественный оператор: представляет собой полином степени от величин поэтому формулы (2) дают ряды Тэйлора для функций

Пусть произвольная функция на аналитичная в точке Если ряд Тэйлора относительно аргументов начинается с членов степени к по совокупности этих переменных, то мы будем говорить, что -порядка в точке

Так как

то формулы (2) дают:

где порядка

Разность величина второго порядка в ; кроме того, она обращается в нуль, если или совпадает с

В результате заключаем, что

где аналитичны в

Заменяя на на получаем:

Так как функция обращается в нуль, когда или совпадает с то она должна быть по крайней мере второго порядка; а это показывает, что величина

— по крайней мере третьего порядка. С другой стороны, в силу формулы (3), имеем

Поэтому

где — по крайней мере третьего порядка.

Так как то, в силу (4) (где следует заменить на на получаем:

где по крайней мере третьего порядка. Заменяя здесь на и замечая, что получаем:

где — крайней мере третьего порядка.