Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ X. Канонические координаты произведений и коммутаторов
Пусть аналитическая группа. Выберем на каноническую систему координат в нейтральном элементе Пусть V — кубическая окрестность ширины а элемента относительно этой системы и — кубическая окрестность ширины элемента такая, что
При имеем:
где функции аналитичны в области, определяемой неравенствами Эти функции можно разложить в ряды по степеням сходящиеся при Мы можем поэтому записать в виде
где полином степени от коэффициенты которого являются аналитическими функциями от Пусть базис алгебры Ли группы соответствующий выбранной нами канонической системе координат Тогда
полагая
получим
в предположении, что
С другой стороны, для любой функции аналитичной в в силу формулы (1) § VIII (стр. 169), имеем:
Применяя последнюю формулу к функциям где
получаем:
Поэтому , рассматриваемая как функция от и, разлагается в окрестности значения в ряд Тэйлора
Если, в частности, причем то, как показывают формулы (1), этот ряд по степеням и сходится при и
Положим теперь
Для любой функции аналитичной в как функция от разлагается в ряд Тэйлора
Применяя эту формулу к функциям окончательно получаем формулы
имеющие место при обозначают тождественный оператор: представляет собой полином степени от величин поэтому формулы (2) дают ряды Тэйлора для функций
Пусть произвольная функция на аналитичная в точке Если ряд Тэйлора относительно аргументов начинается с членов степени к по совокупности этих переменных, то мы будем говорить, что -порядка в точке
Так как
то формулы (2) дают:
где порядка
Разность величина второго порядка в ; кроме того, она обращается в нуль, если или совпадает с
В результате заключаем, что
где аналитичны в
Заменяя на на получаем:
Так как функция обращается в нуль, когда или совпадает с то она должна быть по крайней мере второго порядка; а это показывает, что величина
— по крайней мере третьего порядка. С другой стороны, в силу формулы (3), имеем
Поэтому
где — по крайней мере третьего порядка.
Так как то, в силу (4) (где следует заменить на на получаем:
где по крайней мере третьего порядка. Заменяя здесь на и замечая, что получаем: