§ XII. Первые применения основной аппроксимационной теоремы

Теорема 4. Компактная группа Ли допускает по крайней мере одно тонное представление.

Пусть компактная группа Ли. Из предложения 6 § VII, стр. 280, видно, что для того, чтобы доказать, что допускает точное представление, достаточно доказать, что для любого элемента группы отличного от нейтрального элемента существует представление этой группы, для которого не есть единичная матрица. Пусть -непрерывная функция на такая, что Так как можно с любой точностью аппроксимировать представляющими функциями, то мы видим, что существует представляющая функция, принимающая в различные значения, а наше утверждение непосредственно следует из этого факта.

Предложение 1. Каждое неприводимое представление замкнутой подгруппы компактной группы Ли О индуцируется некоторым представлением группы

Это сразу следует из доказанной только что теоремы и предложения 4 § VII, стр. 277.

Теорема 5 (теорема Таннака). Пусть система всех предст авлений компактной группы Ли совокупность всех представлений этой системы, удовлетворяющих дополнительному условию

для любых элементов из и комплексно сопряженных с ними элементов Если определить в умножение формулой

то становится группой. Пусть любой элемент из — представление системы определенное формулой

Тогда соответствие изоморфное отображение группы

Это непосредственно следует из предложения 1 § IX, стр. 288, и теоремы 4.

Следствие. Пусть компактная группа Ли размерности ассоциированная с ней алгебраическая группа гомеоморфна произведению

Это непосредственно следует из предложения 2 § IX, стр. 290, и теоремы 4.

Предложение 2. Пусть непрерывная функция на компактной группе Ли такая, что

Тогда для любого положительного числа а существует функция являющаяся линейной комбинацией характеров неприводимых представлений группы и удовлетворяющая неравенству

Пусть любое неприводимое унитарное представление группы и — коэффициенты матрицы Имеем

и

Применяя соотношения ортогональности, получаем:

где и соответственно, — степень и характер представления

В силу обшей аппроксимационной теоремы, существует функция из представляющего кольца группы такая, что

Отсюда

Но так

С другой стороны, есть линейная комбинация коэффициентов неприводимых унитарных представлений группы следовательно, по доказанному выше, фунлция

— линейная комбинация характеров неприводимых представлений этой группы. Тем самым предложение 2 доказано.