§ IV. Аналитические подгруппы

Определение 1. Аналитическая группа называется аналитической подгруппой аналитической группы если выполнены следующие условия: 1) базисное многообразие аналитической группы есть подмногообразие базисного многообразия аналитической группы базисная группа аналитической группы есть подгруппа базисной группы аналитической группы

Пусть аналитическая подгруппа аналитической группы Обозначим через алгебру Ли группы и через касательное пространство к в точке Пусть совокупность тех элементов для которых принадлежит касательному пространству к в нейтральном элементе Левый сдвиг порожденный произвольным элементом из индуцирует аналитическое изоморфное отображение базисного многообразия группы на себя. Поэтому есть касательное пространство к в точке а. Если то для всех и потому X индуцирует некоторое инфинитезимальное преобразование в подмногообразии являющееся при этом лево-инвариантным инфинитезимальным преобразованием на Если принадлежат значит, индуцируют инфинитезимальные преобразования на то и как мы знаем, индуцирует инфинитезимальнсе преобразование на в частности,

Определение 2. Пусть алгебра Ли. Подмножество из называется подалгеброй алгебры если выполнены следующие условия: 1) есть векторное подпространство пространства из следует

Мы видим, что, в этой терминологии, введенное выше множество является подалгеброй алгебры Ли группы и что эта подалгебра изоморфна алгебре Ли группы (причем изоморфизм осуществляется отнесением каждому индуцированного им инфинитезимального преобразования на можем поэтому отождествить алгебру Ли группы с некоторой подалгеброй алгебры

Обратно, пусть любая подалгебра алгебры Отнесем каждому подпространство из составлзнное из тех элементов для которых Мы получим некоторое, очевидно, аналитическое распределение на Если базис подалгебры то инфинитезимальные преобразования образуют базис распределения вблизи каждой

точки из Вспоминая, что — подалгебра, мы сразу видим, что распределение инволютивно. Пусть максимальное интегральное многообразие распределения содержащее нейтральный элемент Для любого из левый сдвиг есть аналитическое изоморфное отображение многообразия на себя. Так как то этот аналитический изоморфизм оставляет распределение инвариантным. Отсюда непосредственно следует, что левые сдвиги переставляют максимальные интегральные многообразия распределения 30? между собой. Если то отображает на максимальное интегральное многообразие, содержащее откуда Мы видим, что совокупность точек многообразия является некоторой подгруппой базисной группы аналитической группы и что при индуцирует аналитическое изоморфное отображение многообразия на себя. Мы хотим, далее, доказать, что отображение произведения на аналитично.

Мы знаем, что отображение есть аналитическое отображение произведения в (поскольку очевидно, является подмногообразием многообразия Поэтому, применяя предложение главы III, стр. 142, мы видим, что достаточно будет доказать выполнение в второй аксиомы счетности. А так как подмногообразие многообразия то достаточно будет доказать выполнение второй аксиомы счетности в предложение главы III, стр. 143). Пусть V — кубическая окрестность нейтрального элемента в 9 относительно некоторой системы координат в Будучи гомеоморфным кубу в некотором декартовом пространстве, V содержит счетное всюду плотное множество Пусть группа, порожденная элементами множества она счетна. Мы докажем, что 9 есть объединение множеств этим, очевидно, будет доказано выполнение второй аксиомы счетности в Пусть любой элемент из Так как 9 связно, то элементы из V составляют систему образующих группы и мы можем записать а в виде где Для каждого мы можем найти последовательность элементов из сходящуюся к Положим тогда Так как есть окрестность элемента то существует такой номер , что откуда Тем самым наше утверждение доказано, поскольку

Таким образом мы доказали, что есть аналитическая подгруппа группы Подалгеброй алгебры соответствующей, в силу построения, описанного в начале этого параграфа, подгруппе очевидно, служит

Обратно, пусть любая аналитическая подгруппа группы имеющая своей алгеброй Ли. Тогда ясно, что есть интегральное многообразие распределения и потому является открытым подмногообразием многообразия Содержа элемент содержит и некоторую его окрестность относительно Но так как связно, то элементы любой окрестности элемента составляют систему образующих группы откуда Нами доказана:

Теорема 1. Пусть — аналитическая группа. Если ее аналитическая подгруппа s то алгебру Ли группы можно рассматривать как подалгебру алгебры Ли группы При этом любая подалгебра алгебры Ли группы служит алгеброй Ли одной и только одной аналитической подгруппы этой группы.

Замечание. Максимальные интегральные многообразия распределения введенные нами в процессе доказательства, очевидно, являются смежными классами получаемыми путем применения к левых сдвигов из