Это инфинитезимальное преобразование лево инвариантно. Действительно, пусть Фа — сдвиг, соответствующий элементу а; тогда
чем наше утверждение и доказано. Мы видим, что X есть базисный элемент алгебры Ли группы
сама же эта алгебра состоит из всех его кратных
Пусть теперь
и
аналитические группы,
их алгебры Ли. Как мы знаем, касательное пространство к многообразию
в его точке
можно отождествить с произведением
касательных пространств и
к многообразиям
и
в точках
и
Пусть
какие-нибудь лево-инвариантные инфинитезимальные преобразования, соответственно, на
и
Относя каждой точке
касательный вектор
к
в
мы получим некоторое инфинитезимальное преобразование
на
Докажем, что
лево-инвариантно. Пусть
проекции произведения
соответственно на
и на
Вектор
определяется условиями
Пусть
левые сдвиги, порожденные, соответственно, элементами
в
Имеем
откуда, обозначая через
нейтральные элементы групп
получаем;
Но отсюда вытекает, что
и значит
лево-инвариантно.
С другой стороны, для любых двух аналитических инфини-тезимальных преобразований
на
имеем
Это приводит нас к следующему определению:
Определение 1. Пусть
две алгебры Ли над одним и тем же полем К. Определив в
закон, композиции формулой
мы получим алгебру Ли, базисным векторным пространством которой служит произведение базисных векторных пространств алгебр
Эта алгебра Ли называется произведением алгебр
и обозначается через
Мы доказали, что алгебра Ли произведения двух аналитических групп есть произведение алгебр Ли этих групп.
И определение, и результат легко распространяются на случай произведений нескольких алгебр Ли или аналитических групп.
В частности, мы видим, что алгебра Ли
аналитической группы
есть произведение
алгебр Ли, тождественных с алгеброй Ли
группы
Но для любых двух элементов
из
имеем
поэтому то же верно и для алгебры Ли группы
Так как группа
одномерна, то ее алгебра Ли также одномерна и потому тождественна с
Обозначая через
произведение
аналитических групп, тождественных с
мы видим, что алгеброй Ли группы
служит
Найдем теперь алгебру Ли групп
Коэффициенты
матрицы
суть комплексные функции, вещественные и мнимые части которых
являются аналитическими функциями на
Для любого аналитического инфинитезимального преобразования X на
мы положим
Отнеся каждому лево-инвариантному инфинитезимальному преобразованию X на
матрицу
где
нейтральный элемент группы
мы получим линейное отображение алгебры Ли
группы
в векторное пространство
образованное всеми матрицами порядка
с комплексными коэффициентами.
есть векторное пространство размерности
над
Если
для всех
то
поскольку
функций
образуют систему координат в
В силу лево-инвариантности инфинитезимального преобразования X отсюда следует, что
Поэтому наше линейное отображение является линейным изоморфизмом пространства
и некоторого подпространства пространства
Так как
имеют одну и ту же размерность
то заключаем, что
имеет своим образом всё
Остается для любых двух лево-инвариантных инфинитезимальных преобразований
вычислить матрицу
когда известны
Имеем
где
левый сдвиг, порожденный элементом
Поэтому
Рассматривая
как функцию от
имеем:
Обозначим матрицы
соответственно, через
Тогда матрицей, имеющей своими коэффициентами числа
будет
а матрицей, имеющей своими коэффициентами числа
будет
Тем самым матрицей, соответствующей инфинитезимальному преобразованию
будет служить
Таким образом, алгебра Ли группы
изоморфна пространству всех комплексных матриц порядка
, в котором введен следующий закон композиции:
Более обще, для любого поля К, совокупность всех матриц порядка
с коэффициентами из К может быть превращена в алгебру
над К, если определить композицию, формулой
Пусть
конечномерное векторное пространство над полем
базис пространства над
Для
того чтобы определить в
закон композиции, который превратил бы
в алгебру Ли, очевидно, достаточно задать выражения для элементов
скажем,
Константы
называ отся структурными константами рассматриваемой алгебры Ли относительно базиса
Эти константы не могут быть выбраны произвольно. Действительно. мы должны иметь:
откуда
Если
- поле характеристики
, то эти условия не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы закон композиции, определённый константами
обладал свойствами, описанными в определении 1. Действительно, предположим, что условия (3) и (4) выполнены, и пусть
— любые три элемента из
Тсгда, в силу (3),
и, в силу (4),
чем наше утверждение и доказано.
Очевидно, достаточно потребовать, чтобы условия (1) выполнялись для I у, а условия (2) — для
Построение всех алгебр Ли заданного ранга, скажем, над полем вещественных чисел сведено, таким образом, к чисто алгебраической задаче. Доказательство того, что каждой алгебре Ли соответствует аналитическая группа, очень трудно и его придется отложить до второго тома.