§ III. Примеры алгебр Ли

Рассмотрим сперва аддитивную группу вещественных чисел. Обозначим через координату в На существует инфинитезимальное преобразование X, определенное формулой

Это инфинитезимальное преобразование лево инвариантно. Действительно, пусть Фа — сдвиг, соответствующий элементу а; тогда

чем наше утверждение и доказано. Мы видим, что X есть базисный элемент алгебры Ли группы сама же эта алгебра состоит из всех его кратных

Пусть теперь и аналитические группы, их алгебры Ли. Как мы знаем, касательное пространство к многообразию в его точке можно отождествить с произведением касательных пространств и к многообразиям и в точках и Пусть какие-нибудь лево-инвариантные инфинитезимальные преобразования, соответственно, на и Относя каждой точке касательный вектор к в мы получим некоторое инфинитезимальное преобразование на Докажем, что лево-инвариантно. Пусть проекции произведения соответственно на и на Вектор определяется условиями

Пусть левые сдвиги, порожденные, соответственно, элементами в Имеем

откуда, обозначая через нейтральные элементы групп получаем;

Но отсюда вытекает, что

и значит лево-инвариантно.

С другой стороны, для любых двух аналитических инфини-тезимальных преобразований на имеем

Это приводит нас к следующему определению:

Определение 1. Пусть две алгебры Ли над одним и тем же полем К. Определив в закон, композиции формулой

мы получим алгебру Ли, базисным векторным пространством которой служит произведение базисных векторных пространств алгебр Эта алгебра Ли называется произведением алгебр и обозначается через

Мы доказали, что алгебра Ли произведения двух аналитических групп есть произведение алгебр Ли этих групп.

И определение, и результат легко распространяются на случай произведений нескольких алгебр Ли или аналитических групп.

В частности, мы видим, что алгебра Ли аналитической группы есть произведение алгебр Ли, тождественных с алгеброй Ли группы Но для любых двух элементов из имеем поэтому то же верно и для алгебры Ли группы

Так как группа одномерна, то ее алгебра Ли также одномерна и потому тождественна с Обозначая через произведение аналитических групп, тождественных с мы видим, что алгеброй Ли группы служит

Найдем теперь алгебру Ли групп Коэффициенты матрицы суть комплексные функции, вещественные и мнимые части которых являются аналитическими функциями на Для любого аналитического инфинитезимального преобразования X на мы положим

Отнеся каждому лево-инвариантному инфинитезимальному преобразованию X на матрицу где

нейтральный элемент группы мы получим линейное отображение алгебры Ли группы в векторное пространство образованное всеми матрицами порядка с комплексными коэффициентами. есть векторное пространство размерности над Если

для всех то поскольку функций образуют систему координат в В силу лево-инвариантности инфинитезимального преобразования X отсюда следует, что Поэтому наше линейное отображение является линейным изоморфизмом пространства и некоторого подпространства пространства Так как имеют одну и ту же размерность то заключаем, что имеет своим образом всё

Остается для любых двух лево-инвариантных инфинитезимальных преобразований вычислить матрицу когда известны Имеем

где левый сдвиг, порожденный элементом Поэтому

Рассматривая как функцию от имеем:

Обозначим матрицы соответственно, через Тогда матрицей, имеющей своими коэффициентами числа будет а матрицей, имеющей своими коэффициентами числа будет Тем самым матрицей, соответствующей инфинитезимальному преобразованию будет служить

Таким образом, алгебра Ли группы изоморфна пространству всех комплексных матриц порядка , в котором введен следующий закон композиции:

Более обще, для любого поля К, совокупность всех матриц порядка с коэффициентами из К может быть превращена в алгебру над К, если определить композицию, формулой

Пусть конечномерное векторное пространство над полем базис пространства над Для

того чтобы определить в закон композиции, который превратил бы в алгебру Ли, очевидно, достаточно задать выражения для элементов скажем,

Константы называ отся структурными константами рассматриваемой алгебры Ли относительно базиса

Эти константы не могут быть выбраны произвольно. Действительно. мы должны иметь:

откуда

Если - поле характеристики , то эти условия не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы закон композиции, определённый константами обладал свойствами, описанными в определении 1. Действительно, предположим, что условия (3) и (4) выполнены, и пусть

— любые три элемента из Тсгда, в силу (3),

и, в силу (4),

чем наше утверждение и доказано.

Очевидно, достаточно потребовать, чтобы условия (1) выполнялись для I у, а условия (2) — для

Построение всех алгебр Ли заданного ранга, скажем, над полем вещественных чисел сведено, таким образом, к чисто алгебраической задаче. Доказательство того, что каждой алгебре Ли соответствует аналитическая группа, очень трудно и его придется отложить до второго тома.