§ III. Однородные пространства. Факторгруппы

Пусть -топологическая группа и — замкнутая ее подгруппа. Мы говорим, что два элемента сравнимы по

модулю если левые смежные классы совпадают. Этим, очевидно, задается соотношение эквивалентности между элементами из и соответствующие классы эквивалентных элементов суть левые смежные классы по модулю

Отнесем каждому соответствующий ему правый сдвиг Необходимым и достаточным условием принадлежности элементов одному и тому же смежному классу по модулю является существование такого, что Операции образуют группу гомеоморфных отображений пространства на себя. При этом совокупность всех пар для которых существует такое, что является в замкнутым множеством, как полный прообраз замкнутого множества При непрерывном отображении

Более обще, пусть — топологическое пространство и некоторая группа его гомеоморфных отображений на себя. Группа определяет в соотношение эквивалентности, при котором точки считаются эквивалентными, если существует элемент такой, что Предположим, что подмножество пространства , составленное из всех пар эквивалентных элементов замкнуто в . Топологизируем при этом условии совокупность К классов эквивалентных элементов. Пусть X — семейство тех подмножеств О из для которых множество является открытым в

Ясно, что каждое объединение множеств из равно как и пересечение каждого конечного числа множеств из X, принадлежит , а также, что Пусть любое открытое множество из ; тогда множество классов X, пересекающихся с принадлежит Действительно, пусть О — это множество и точка из Точка принадлежит некоторому классу имеющему с общей какую-то точку поэтому существует элемент такой, что Множество — открытое, содержит и содержится в чем и доказано, что открытое множество Пусть два различных класса эквивалентных элементов и — точка из Тогда не принадлежит Так как замкнутое множество, то существуют открытые множества такие, что Пусть О — множество классов эквивалентных элементов, имеющих хотя бы один общий элемент с Имеем и

Отсюда следует, что в К можно определить топологию, в которой будет семейством открытых множеств. Пусть отображение, относящее каждому содержащий его класс эквивалентных элементов. Ясно, что является непрерывным и открытым отображением 23 на К.

Возвращаясь к рассмотрению группы и ее замкнутой подгруппы мы видим, что в множестве всех смежных классов по модулю можно определить топологию. Получаемое таким образом топологическое пространство называется фактор пространством по и обозначается через Всякое пространство, которое можно получить таким способом с помощью какой-либо топологической группы и ее замкнутой подгруппы называется однородным пространством.

Отображение, относящее каждому его смежный класс по модулю называется естественным отображением на Мы будем сбозначать это отображение через

Если то есть смежный класс по модулю будем обозначать его через Мы видим, что всякий элемент определяет отображение на себя; другими словами, в действует группа

Для каждсго всегда существует такое, что поэтому действует в транзитивно. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы откуда этому группой элементов оставляющих инвариантным служит

Докажем теперь, что отображение пространства на непрерывно. Пусть открытое множество из множество всех пар таких, что Нам нужно доказать, что открытое множество. Пусть точка из — множество открытое множество пространства являющееся окрестностью элемента для всякого удовлетворяющего условию поэтому существуют открытые множества такие, что Пусть множество ; так как -открытое отображение, то открытое множество в Поэтому -открытое множество в кроме того, имеем тем самым доказано, что есть окрестность точки . А так как произвольная течка из то открытое множество.

В частности, при фиксированном о отображение пространства на себя непрерывно; есть отображение, обратное к и также непрерывное. Следовательно,

при каждом фиксированном есть гомеоморфное отображение пространства на себя.

Пусть отображение пространства в некоторое множество Если значение зависит лишь от класса элемента то мы можем определить отображение факторпространства в X так, чтобы положив для этого Предположим, что X — топологическое пространство. Если тогда непрерывно, то непрерывно и Действительно, пусть любое открытое множество из множество совпадает с Если отображение непрерывно, то множество является открытым, а потому открытым будет также чем и доказана непрерывность отображения Если - открытое отображение, то открытым будет и действительно, если открытое множество из совпадающее будет открытым, так как отображение непрерывное, а открытое.

Предложение 1. Если компактны, то а группа компактна.

Действительно, пусть семейство замкнутых множеств из обладающее тем свойством, что любое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Без ограничения общности можно предположить, что эти конечные пересечения также принадлежат семейству Пусть - семейство всех множеств есть семейство множеств из и обладает тем же свойством непустоты пересечений конечных подсемейств. Так как пространство компактно, то оно содержит некоторую точку принадлежащую замыканиям всех множеств из

Пусть любая окрестность нейтрального элемента в группы элемент из такой, что Тогда служит окрестностью для а: и потому пересекается со всеми множествами Отсюда следует, что или Пусть семейство множеств где пробегает все множества из - все окрестности элемента . Тогда снова обладает свойством непустоты пересечений конечных подсемейств. Действительно, если окрестности элемента , то множество содержит где множество же непусто, поскольку есть

окрестность элемента Но гомеоморфно ипотому компактно. Следовательно, существует точка принадлежащая замыканиям всех множеств из всех множеств Но когда пробегает все окрестности элемента то и пробегает все его окрестности; поэтому принадлежит замыканию всякого А так как замкнуты, то и предложение 1 тем самым доказано.

Сферы как однородные пространства

Рассмотрим группу Матрицы имеющие вид

образуют в замкнутую подгруппу Но входящие в них матрицы очевидно, принадлежат Отсюда непосредственно следует, что (как топологическая группа) изоморфна группе

Будем теперь рассматривать вещественные матрицы порядка как эндоморфизмы векторного пространства в котором мы выберем базис составленный из векторов, имеющих своими координатами нулей и одну единицу. Для любого элемента из положим Так как матрица ортогональна, то а единичный вектор. Если то Обратно, если то вследствие ортогональности имеем так как то таким образом, Поэтому для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы Элемент зависит лишь от смежного класса по модулю которому принадлежит ; поэтому мы можем положить а

Совокупность всех единичных векторов есть -мерная единичная сфера Поэтому представляет собой отображение факторпространства притом взаимно однозначное и, очевидно, непрерывное. Предложение За главы I, стр. 23, показывает, что при нашем отображении каждое является образом некоторого элемента

Так как пространство (как непрерывный образ группы компактно, то отображение - топологическое.

Мы можем отождествить с подгруппой и получаем тогда следующий результат:

Предложение 2. Факторпространство гомеоморфно сфере для всех

Заметим, далее, что для каждого а всегда существует элемент такой, что . Действительно, пусть — какой-нибудь элемент из для которого ; если то заменим на где

Тогда будем иметь Поэтому верно также Предложение 2а. Факторпространство по гомеоморфно сфере для всех 2.

Замечая, что совокупность всех единичных векторов из гомеоморфна сфере получим путем совершенно аналогичного рассуждения

Предложение 3. Факторпространства по по гомеоморфны сфере для всех .

Рассмотрим, наконец, группу Элементами в служат матрицы порядка с коэффициентами из алгебры кватернионов Введем векторное пространство над как в § VII главы I, стр. 33. Элементами оставляющими инвариантным базисный элемент являются матрицы вида (1) с Они образуют в подгруппу, которую мы можем отождествить с

В главы I (стр. 36) было определено взаимно однозначное соответствие между это соответствие позволяет нам ввести в топологию, причем операции из являются непрерывными (в этой топологии) отображениями на себя. Как следует из предложения главы I, стр. 36, образами вектора при этих отображениях являются все единичные векторы из . С другой стороны, формула 2) § VIII главы I, стр. 37, показывает, что единичные векторы из это векторы, соответствующие единичным векторам из они образуют множество, гомеоморфное сфере Следовательно, имеем

Предложение 4. Факторпространство по гомеоморфно сфере для всех

Факторгруппы

Рассмотрим теперь случай, когда замкнутая инвариантная подгруппа группы Пусть — базисные группы топологических групп Тогда совокупность точек фактор-пространства совпадает с совокупностью элементов факторгруппы естественное же отображение пространства на является гомоморфным отображением группы на Покажем, что группа и пространство образуют в совокупности топологическую группу. Пусть элементы из положим и обозначим через какое-нибудь открытое множество из содержащее Пусть элементы из такие, что тогда есть открытое множество в содержащееся. Следовательно, в существуют открытые множества такие, что Множества являются открытыми в и из следует Это и доказывает, что отображение пространства на непрерывно.

Определенная нами топологическая группа называется факторгруппой по и обозначается через

Пусть, например, подгруппа группы состоящая из точек с целыми координатами. Очевидно, -замкнутая дискретная подгруппа топологической группы Факторгруппа называется -мерным тором и обозначается через Группу обозначают также через она гомеоморфна окружности круга в Легко видеть, что изоморфна (как топологическая группа) произведению экземпляров группы

Пусть непрерывное гомоморфное отображение топологической группы в некоторую топологическую группу Ядро этого гомоморфизма (т. е. совокупность всех элементов из переходящих при отображении в нейтральный элемент) является инвариантной подгруппой группы и притом замкнутой вследствие непрерывности отображения Элемент зависит лишь от смежного класса элемента по модулю и потому определяет непрерывное гомоморфное отображение фактор группы Гомоморфизм взаимно однозначен; однако, следует иметь в виду, что не обязательно гомеоморфизм.

Предложение 5. Пусть гомоморфное отображение топологической группы в топологическую группу

Если гомоморфизм непрерывен в нейтральном элементе группы то он непрерывен всюду.

Действительно, пусть любой элемент из окрестность его образа окрестность нейтрального 5; элемента в По предположению, в существует окрестность V элемента такая, что Но тогда чем и доказана непрерывность отображения веточке