§ VIII. Экспоненциальное отображение. Канонические координаты

Пусть аналитическая группа и ее алгебра Ли. Рассмотрим аналитические гомоморфные отображения аддитивной группы вещественных чисел в группу Алгебра Ли группы натянута на инфинитезимальное преобразование определенное формулой где координата в Для функции , аналитичной на в точке имеем:

Для любого элемента X алгебры существует гомоморфное отображение алгебры переводящее Так как односвязна, то этому гомоморфизму соответствует аналитическое гомоморфное отображение группы в 9 (см. теорему 2, стр. 166). Для функции аналитичной на у в точке , имеем:

Предположим, в частности, что есть Пусть коэффициенты матрицы Элемент X алгебры Ли группы можно представить матрицей (см. § III, стр. 155). Тогда матрица равна для любого Коэффициенты матрицы являются аналитическими функциями от обозначая матрицу, коэффициентами которой служат производные от коэффициентов матрицы через имеем из формулы (1):

С другой стороны, единичная матрица). Решением дифференциального уравнения (2) с этим начальным условием служит

(см. § II главы I, стр, 14). Это приводит нас к следующему обобщению.

Определение 1. Пусть X — произвольный элемент алгебры Ли аналитической группы элемент алгебры Ли группы определенный равенством координата в Пусть X) есть аналитическое гомоморфное отображение группы дифференциалом которого служит гомоморфное отображение алгебры переводящее Элемент мы будем обозначать через

Таким образом, экспоненциальное отображение есть отображение Легко видеть, что оно обладает следующими свойствами

Пусть базис пространства Каждое можно записать в виде

На как на точечном множестве, можно определить многообразие, потребовав, чтобы образовывали в каждой его точке систему координат. Полученное так многообразие, очевидно, не зависит от выбора базиса

Докажем теперь, что экспоненциальное отображение является аналитическим отображением определенного нами только что многообразия. Пусть система координат на в нейтральном элементе такая, что кубическая окрестность точки относительно этой системы.

Пусть любые вещественные числа; существует число такое, что Для всех меньших по абсолютной величине, чем Пусть точная верхняя грань чисел обладающих этим свойством. При и заменяет чисел положим

Если

где функции определены и аналитичны при — ширина куба В силу формулы (1), определяющей экспоненциальное отображение, имеем:

или, в наших новых обозначениях,

Иными словами, равенства представляют, при решение системы дифференциальных уравнений

При этом дополнительно имеем:

Применяя теперь к системе (3) теорему существования, получаем следующий результат. Существуют два числа функций аналитичных в области, определяемой неравенствами

обладающие следующими свойствами:

3) равенства представляют решение системы (3). Применяя теорему единственности, заключаем, что при

имеют место равенства

Из определения числа непосредственно следует, что

Свойство 2) функций показывает, что при . С другой стороны, при очевидно, имеем

Отсюда легко следует, что функции определены и аналитичны при Это показывает, что экспоненциальное отображение аналитично в нулевой точке многообразия

Для любого элемента X из существует целое число такое, что содержится в открытой окрестности нуля, на которой экспоненциальное отображение аналитично. Так как

то заключаем, что экспоненциальное отображение аналитично и в

Покажем теперь, что экспоненциальное отображение регулярно в нулевой точке многообразия (заметим, что экспоненциальное отображение может и не быть регулярным всюду). Действительно, пусть касательный вектор к в нулевой точке, определенный условиями

Легко видеть, что дифференциал экспоненциального отображения переводит . А так векторы образуют базис касательного пространства к в то наше утверждение тем самым доказано.

Из наших результатов, в силу предложения 1 § IV главы III, стр. 119, непосредственно следует, что на существует система координат такая, что для всех достаточно малых имеют место равенства

Определение 2. Пусть базис алгебры Ли аналитической группы Система координат в нейтральном элементе группы называется канонической системой координат (относительно базиса , если для всех достаточно малых имеют место равенства

Пусть — такое число, что наши равенства имеют место при

Кубическую окрестность ширины относительно координат мы будем называть тогда канонической окрестностью элемента .