§ VIII. Алгебраическое строение представляющего кольца

В этом параграфе всюду будет обозначать некоторую компактную группу Ли, а — ее представляющее кольцо.

Пусть любое представление группы через мы будем обозначать степень этого представления, а через его коэффициент, стоящий на пересечении -той строки и -того столбца таким образом, будет кольцом, порожденным всеми функциями вида Как мы знаем из предыдущего параграфа, существует конечная достаточная

система представлений группы Пусть такая система; тогда функции

составляют систему образующих кольца о. Нашей целью будет разыскание алгебраических соотношений, связывающих эти образующие.

Для этого удобно ввести новые независимые переменные пробегает все представления группы Пусть — кольцо полиномов от переменных и с коэффициентами из С (переменных имеется бесконечное множество, но каждый полином содержит лишь конечное их число). Отображение, относящее каждому соответствующее , естественно продолжается до гомоморфного отображения всего кольца и на . Пусть а — ядро этого гомоморфизма, а — идеал кольца . Мы определим этот идеал, указав систему его образующих.

Отнесем каждому представлению матрицу порядка с коэффициентами и Среди полиномов, принадлежащих идеалу а, находятся, в частности, следующие:

1) коэффициенты матриц

для всех возможных выборов представлений

2) коэффициенты матриц

где любая регулярная матрица порядка

3) полином

где - единичное представление группы

Предложение 1. Полиномы категорий 1), 2), 3) составляют систему образующих идеала а.

Пусть наименьший идеал, содержащий все полиномы категорий 1), 2), 3). Нам нужно доказать, что

Выберем в каждом классе эквивалентных неприводимых представлений по одному представлению; пусть полученная так система представлений (А — некоторое множество индексов). Мы утверждаем, что каждый полином из и сравним

по модулю с некоторой конечной линейной комбинацией переменных

Достаточно установить это для константы 1, каждой из переменных и и любых попарных произведений этих переменных. Имеем:

а во всяком случае, есть одно из представлений Далее, для любого представления существуют индексы и регулярная матрица такие, что

отсюда следует, что коэффициенты матрицы сравнимы по модулю с соответствующими коэффициентами матрицы

которые, в свою очередь, являются линейными комбинациями переменных Наконец, и есть коэффициент матрицы и потому сравним по модулю с некоторым коэффициентом матрицы т. е. также с линейной комбинацией переменных Тем самым наше утверждение доказано.

Пусть теперь любой полином из идеала а. По доказанному,

где - какие-то константы. Так как то

и, значит,

Умножая на и интегрируя по группе, мы получаем (в силу соотношений ортогональности), что а для всех комбинаций Поэтому и предложение 1 доказано.

Зная какую-нибудь систему образую представляющего кольца о, мы можем получить алгебраические соотношения, связывающие эти образующие, выражая каждый

коэффициент в виде полинома от величин и подставляя эти выражения в соотношения между функциями вытекающие из принадлежности полиномов категорий 1), 2),

3) идеалу а.

Изучим теперь гомоморфные отображения представляющего кольца в поле комплексных чисел. Если система образующих кольца , то гомоморфизм однозначно определяется заданием чисел

Эти числа нельзя взять совершенно произвольно: они должны удовлетворять соотношениям

где соотношения, связывающие образующие в ; но только этим и ограничивается свобода выбора чисел Поэтому заключаем, что гомоморфные отображения кольца в поле С можно отождествить с точками алгебраического многообразия, определяемого уравнениями

Определение 1. Пусть — представляющее кольцо компактной группы Ли Совокупность его гомоморфных отображений в поле С комплексных чисел мы будем называть алгебраическим многообразием, ассоциированным с группой и обозначать через

Если задана система образующих то совокупность точек

мы называем моделью многообразия соответствующей образующим

Определение 2. Пусть — система всех представлений компактной группы Ли Под представлением системы мы понимаем отображение относящее каждому регулярную матрицу порядка, равного степени представления и удовлетворяющее следующим условиям:

для любых и любой регулярной матрицы порядка

Пусть произвольное гомоморфное отображение представляющего кольца в поле С. Отнесем каждому представлению матрицу коэффициентами которой служат числа

мы получим отображение относящее каждому элементу из некоторую матрицу.

Предложение 2. Отображение где есть представление системы соответствие есть взаимно однозначное отображение многообразия на совокупность всех представлений системы

Очевидно, удовлетворяет условиям (1). Для того, чтобы доказать, что есть представление системы достаточно поэтому доказать, что регулярная матрица. Для каждого имеем:

Следовательно,

Так как гомоморфизм, то получаем, что

откуда

Это доказывает, что матрица регулярна, а также что

Если - два различных элемента из то существует представляющая функция такая, что

это показывает, что

Пусть, наконец, любое представление системы Отнесем каждой переменной число стоящее на пересечении -той строки и -того столбца матрицы Так как переменные алгебраически независимы, то отображение можно продолжить до гомоморфизма кольца полиномов от переменных и (который мы также будем обозначать через Так как С есть представление системы то полиномы указанных выше категорий 1) и 2), очевидно,

отображаются в 0. Далее, где единичное представление, есть число, отличное от нуля и, в силу формулы равное своему квадрату; таким образом, значит,

В силу предложения 1, заключаем, что все полиномы из идеала а отображаются посредством в . Так как можно отождествить с факторкольцом кольца полиномов от переменных и по идеалу а, то мы видим, что естественно определяет гомоморфное отображение кольца в поле С. Ясно, что Тем самым предложение 2 доказано.

Замечание. В качестве побочного результата мы доказали, что

для любого представления системы и любого представления группы

Пусть любые два представления системы Как нетрудно проверить, отображение

есть снова представление системы Это показывает, что представления системы образуют группу.

Определение 3. Соответствие между элементами многообразия и представлениями системы установленное предложением 2, определяет в групповую структуру. Полученную таким образом группу мы будем называть алгебраической группой, ассоциированной с группой

Введем теперь в топологию. Каждой системе образующих кольца соответствует модель алгебраического многообразия причем элементы многообразия находятся во взаимно однозначном соответствий с точками этой модели. как подмножестве пространства имеется естественная топология, индуцированная топологией пространства Взаимно однозначное соответствие между переносит эту топологию в Покажем, что определенная так в топология не зависит от выбора модели Пусть -другая модель, порожденная системой образующих Тогда каждое можно выразить в виде полинома от а каждое виде полинома от Отсюда непосредственно следует, что соответствие между

точками моделей отвечающими одному и тому же элементу из есть гомеоморфизм, чем наше утверждение и доказано.

Пусть — достаточная система представлений группы Положим

и обозначим степень представления через Как мы знаем, функций

составляют систему образующих кольца . Отнесем каждому матрицу которую мы будем обозначать также через Мы получим так, очевидно, представление группы матрицами порядка Так как функции порождают модель группы то это представление — точное и является гомеоморфизмом. Отсюда непосредственно следует, что соединение топологической и групповой структур, имеющихся на превращает в топологическую группу.

Более обще, для любого представления группы отображение является представлением топологической группы Мы будем обозначать это представление через

Предложение 3. Пусть представление группы коэффициенты которого составляют систему образующих представляющего кольца этой группы. Тогда отображает на множество всех матриц удовлетворяющих следующему условию: для любого полинома такого, что

имеет место также равенство

Действительно, коэффициентами матрицы где служат числа А так как гомоморфизм, то из равенства

следует

Обратно, пусть любая матрица, удовлетворяющая нашему условию. Так как элементы составляют систему образующих представляющего кольца , то из этого условия вытекает существование гомоморфного отображения кольца в поле С такого, что

Следовательно, матрица равна и доказательство предложения 3 завершено.

Замечание. Можно доказать, что каково бы ни было представление группы отображает на множество регулярных матриц, удовлетворяющих условию предложения 3. Доказательство мы опустим, но оно лишь немногим сложнее приведенного выше.

Следствие. Алгебраическая группа, ассоциированная с есть группа Ли.

Действительно, эта группа изоморфна (как топологическая группа) подгруппе группы определяемой алгебраическими соотношениями между коэффициентами и потому замкнутой в Вместе с тем, теперь становится ясным, почему мы назвали эту группу алгебраической группой, ассоциированной с