§ II. Примеры многообразий

Пусть V — какое-нибудь множество, на котором определены вещественных функций причем выполнено следующее условие: если каждому элементу отнести точку с координатами то соответствие будет взаимно однозначным отображением множества V на открытое связное множество из

При этих условиях существует многообразие имеющее V множеством своих точек и определенное тем свойством, что функции образуют систему координат на О в каждой точке из

Действительно, так как отображение взаимно однозначно, то существует топологическое пространство имеющее V множеством своих точек и такое, что есть гомеоморфное отображение этого пространства на подпространство пространства открытыми множествами в являются множества, отображаемые посредством на открытые множества пространства Топологическое пространство связно. Пусть где класс всех вещественных функций, определенных в окрестностях точки и аналитически зависящих вблизи от Проверка того, что соответствие удовлетворяет условиям I, II и III § I, не представляет никакого труда. Это соответствие определяет тогда некоторое многообразие и очевидно, образуют систему координат в каждой точке этого многообразия.

Если множество V топологизировано a priori, а является его гомеоморфизмом, то определенное выше топологическое пространство совпадает с заданным a priori; последнее является базисным пространством построенного нами многообразия

Беря, например, в качестве V пространство с его обычной топологией, а в качестве -координаты в мы получим многообразие, имеющее своим базисным пространством Это многообразие мы будем обозначать также через Функция определенная в окрестности точки аналитична в этой точке на многообразии если, будучи выражена как функция от координат, она аналитична в точке

Многообразие, которое может быть получено описанным способом, обладает тем свойством, что существует набор вещественных функций, определенных на всем многообразии и образующих систему координат в каждой его точке. Однако имеются многообразия, не обладающие этим свойством. В этой связи упомянем следующую проблему, представляющуюся крайне трудной: существует ли конечный набор вещественных функций определенных и аналитичных во всех точках многообразия X) и обладающих тем свойством, что для каждого некоторое подмножество множества служит системой координат в В действительности неизвестно даже, всегда ли существует аналитическая на всем многообразии функция, не являющаяся константой.

Построим теперь многообразие, имеющее своим базисным пространством одномерный тор т. е. факторгруппу аддитивной группы вещественных чисел по группе целых чисел. Пусть произвольная точка из есть класс вычетов группы по модулю т. е. состоит из вещественного числа и всех других вещественных чисел, которые можно получить путем прибавления к произвольного целого числа. Периодическая функция с периодом 1 принимает одно и то же значение во всех точках класса мы можем записать это значение в виде превратив тем самым в символ функции, определенной на В частности, вещественные функции, определенные на Пусть класс функций, определенных на окрестностях точки и аналитически зависящих вблизи от Легко видеть, что соответствие удовлетворяет условиям I, II и Поэтому оно определяет многообразие; это многообразие мы будем обозначать также через Если класс вычетов 50 не содержит или то функция является системой координат в если класс не содержит О или то функция является системой координат.

Однако легко видеть, что никакая функция не может служить системой координат в каждой точке многообразия 71.

Пусть многообразие, -связное открытое множество на класс аналитических функций в точке Относя каждому класс функций вида где любая функция из ( тождественное отображение множества мы, очевидно, получим многообразие

имеющее своим базисным пространством Такое многообразие называется открытым подмногообразием многообразия 0.

Определение 1. Пусть многообразия и отображение некоторой окрестности V точки в Отображение называется аналитическим в если выполнено следующее условие: для любой функции аналитичной в точке функция аналитична в точке

Предположим, далее, что является гомеоморфным отображением многообразия на многообразие если тогда обратное отображение всюду аналитичны, то называется аналитическим изоморфизмом многообразий

Пусть заданное многообразие, некоторое топологическое пространство и гомеоморфное отображение пространства на некоторое связное открытое множество из есть базисное пространство открытого подмногообразия многообразия Мы можем определить тогда многообразие с базисным пространством потребовав, чтобы было аналитическим изоморфизмом многообразий Для этого достаточно лишь отнести каждой точке класс функций вида где пробегает все функции, аналитичные в точке на

Замечание. Гомеоморфное отображение многообразия на многообразие может быть всюду аналитическим и не будучи аналитическим изоморфизмом. Действительно, возьмем в качестве определенное выше многообразие вещественных чисел, а в качестве -многообразие с тем же базисным пространством, что и , но характеризуемое тем, что отображение есть аналитический изоморфизм многообразий и Пусть тождественное отображение на очевидно, всюду аналитическое гомеоморфное отображение на Но не является аналитическим изоморфизмом, так как, например, функция аналитична в точке на но не на Этот пример показывает также, что различные многообразия могу иметь одно и то же базисное пространство.

Предложение 1. Пусть отображение многообразия многообразие Для того чтобы было аналитическим изоморфизмом многообразий и необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) является

гомеоморфизмом многообразий если система координат на в точке то функции образуют систему координат в точке на X).

1) Предположим, что -аналитический изоморфизм. Пусть отображение, обратное к Если функция аналитична в на то функция аналитична в на и потому аналитически зависит от вблизи Так как то аналитически зависит вблизи от функций Отсюда следует, что функции образуют систему координат в точке и что если кубическая окрестность точки относительно системы то есть кубическая окрестность точки относительно системы

2) Предположим теперь, что выполнены условия 1), 2). Если функция аналитична на в точке т. е. аналитически зависит вблизи от то аналитически зависит от упоф вблизи и потому аналитична в Это показывает, что аналитично всюду. Всякая функция аналитичная в на X, аналитически зависит вблизи от Поэтому аналитически зависит вблизи от функций так что аналитична в на Таким образом, всюду аналитическое отображение и, значит, аналитический изоморфизм.