§ VI. Понятие накрывающего пространства

Определение 1. Топологическое пространство, обладающее тем свойством, что каждая окрестность любой его точки содержит связную окрестность этой точки, называется локально связным.

Предложение 1. В локально связном пространстве каждая компонента открытого множества является открытым множеством.

Действительно, пусть К — компонента открытого множества служит окрестностью каждой точки и потому содержит некоторую связную окрестность V этой точки. Так как К — компонента и то так что внутренняя точка в К. Тем самым предложение 1 доказано.

Замечание. Из доказанного непосредственно следует, что в любой окрестности точки локально связного пространства содержится открытая связная окрестность этой точки. Определение 2. Пусть -непрерывное отображение пространства в пространство . Говорят, что подмножество пространства ровно накрыто пространством (?относительно ), если не пусто и каждая компонента множества топологически отображается посредством на все

Ясно, что каждое ровно накрытое множество ipso facto связно. Определение 3. Пусть — топологическое пространство. Накрывающим пространством этого пространства 23 называется пара, образованная связным локально связным пространством и непрерывным отображением пространства на , обладающая следующим свойством: каждая точка из имеет окрестность, ровно накрытую пространством (относительно ).

Ясно, что только связное локально связное пространство может обладать накрывающим пространством. Обратно, каждое связное локально связное пространство допускает по меньшей мере одно накрывающее пространство, а именно где тождественное отображение.

Если накрывающее пространство пространства ,

то открытое отображение. Действительно, пусть открытое множество из любая точка из Точка обладает окрестностью V, ровно накрытой пространством 23. Пусть V — компонента точки Множество относительно открытое в Так как топологически отображает V на V, то множество относительно открытое в V и служит поэтому окрестностью точки . А так как то окрестность любой своей точки чем наше утверждение и доказано. Лемма 1. Пусть -непрерывное отображение локально связного пространства в пространство . Пусть точка из — окрестность точки в . Компонента V точки является окрестностью этой точки в содержит открытое множество такое, что

Имеем: пусть -компонента точки Множество открытое, поскольку отображение непрерывно; тогда открытое согласно предложению 1. И так как то лемма 1 доказана.

Эта лемма показывает, что если ( накрывающее пространство для , то локальный гомеоморфизм, т. е. каждая точка из имеет окрестность, топологически отображающуюся посредством Однако одного этого условия недостаточно, чтобы было накрывающим пространством для , как показывает следующий пример. Пусть отображение относящее каждому его класс вычетов по модулю 1; легко проверить, что является накрывающим пространством для Пусть отображение определяемое формулой

и здесь легко видеть, что есть накрывающее пространство для Пусть теперь пространство, получаемое

из удалением одной какой-нибудь точки; связно и локально связно. Обозначим через отображение, индуцируемое отображением на является локальным гомеоморфизмом и отображает на тем не менее, не есть накрывающее пространство для

Лемма 2. Пусть непрерывное отображение пространства в пространство Если множество из ровно накрытое пространством (относительно то и каждое связное подмножество множества ровно накрыто. Компонентами множества служат пересечения компонент множества

Пусть компоненты множества пробегает некоторое множество индексов. Положим

Тогда топологически отображает на что доказывает связность множества Обратно, каждое связное подмножество множества содержится в некоторой компоненте множества Тем самым лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть накрывающее пространство пространства Тогда каждая окрестность любой точки из содержит открытую связную окрестность этой точки, ровно накрытую пространством

Лемма 3 непосредственно следует из леммы 2 и предложения 1.

Лемма 4. Пусть непрерывное отображение локально связного пространства в связное пространство Предположим, что каждая точка имеет окрестность, ровно накрытую пространством (относительно Пусть какая-нибудь компонента пространства и -бражение, индуцируемое отображением на Тогда является накрывающим пространством для открытым в

Докажем сперва, что Пусть точка из и окрестность этой точки, ровно накрытая пространством Пусть — компоненты множества Множества пересекающие , целиком содержатся в ; отсюда

где множество тех индексов для которых Отсюда следует, что если V пересекает то, будучи ровно накрытым, в частности, всякая точка принадлежащая замыканию множества является внутренней точкой этого множества. Таким образом, является открытым и замкнутым в . Но отсюда, вследствие связности множества , вытекает, что

Компонентами множества также служат поскольку каждое есть максимальное связное подмножество множества а потому, и множества

Отсюда следует, что есть накрывающее пространство для . То, что — открытое множество, непосредственно следует из леммы 1.

Лемма 5. Пусть накрывающее пространство пространства связное локально связное подпространство в . Каждая компонента множества является относительно открытой в где отображение, индуцируемое отображением на множестзе есть накрывающее пространство для

Пусть точка из — открытая окрестность этой точки, ровно накрытая пространством (см. лемму 3). Так как локально связно, то можно найти связную окрестность X точки относительно содержащуюся в Компонентами множества служат пересечения этого жества с компонентами множества (см. лемму 2).

Точка из отображающаяся посредством на является внутренней для и потому есть окрестность точки относительно Отсюда легко следует, что множество локально связно и что каждая точка из имеет окрестность, ровно накрытую пространством относительно отображения, индуцируемого отображением на Лемма 5 следует тогда из леммы 4.

В определении 3 мы потребовали, чтобы пространство было локально связным. Положение, получающееся, если отбросить это условие, описывается следующей леммой.

Лемма 6. Пусть связное локально связное пространство. Предположим, что пространство допускает непрерывное отображение на при котором каждая точка из имеет окрестность, ровно накрываемую пространством относительно Пусть — семейство множеств из являющихся объединениями компонент открытых множеств пространства Тогда может быть принято за семейство открытых множеств пространства имеющего те же точки, что и Пространство локально связно. Каждая точка из имеет окрестность, ровно накрытую пространством относительно.

Ясно, что содержит каждое объединение множеств из а также каждое открытое множество из Из последнего следует, что для любых двух различных точек пространства существуют множества такие, что

Пусть теперь и любые два множества из временно содержащие точку Из леммы 2 непосредственно следует, что имеет в открытую связную окрестность ровно накрытую пространством относительно . С другой стороны, в можно найти такие открытые множества что компонента точки будет содержаться

в Пусть К — компонента точки Тогда К принадлежит семейству содержит и содержится в Это доказывает, что Отсюда непосредственно следует первое утверждение леммы Пусть теперь -1 — компонента точки тогда К есть также компонента точки По предположению, топологически отображает (рассматриваемое как подпространство пространства на Поэтому локально связно и, Значит, К является относительно открытым в Беря мы видим, что топологии, индуцируемые пространствами на множестве совпадают, и это доказывает, что локально связно. Кроме того, ясно, что ровно накрыто пространством относительно Тем самым лемма 6 полностью доказана.