§ VIII. Максимальные интегральные многообразия инволютивного распределения

Пусть X — многообразие и аналитическое инволютивное распределение на

Теперь мы, вместо того чтобы ограничиваться рассмотрением интегрального многообразия распределения лишь в окрестности точки, будем изучать это многообразие в целом.

Пусть V — множество точек, образующих Я). Введем на

V новую топологию. Пусть семейство тех подмножеств из V, которые можно представить в виде объединений интегральных многообразий распределения можно принять за семейство открытых множеств в некоторой топологии на Действительно:

1) Любое объединение множеств из 0, очевидно, принадлежит снова 0.

2) Пусть любые два множества из и точка из Тогда существуют два интегральных многообразия распределения содержащие и такие, что Предложение стр. 137, показывает, что существует интегральное многообразие содержащее и содержащееся одновременно в и Имеем тогда и так как произвольная точка из то

3) Любое открытое множество из X принадлежит семейству . В самом деле, пусть —точка из она содержится

в некотором интегральном многообразии распределения Так как локально связно, то компонента точки является в открытым множеством Как таковое, эта компонента служит базисным пространством некоторого открытого подмногообразия многообразия и очевидно, есть интегральное многообразие распределения такое, что Это доказывает, что . В частности, заключаем, что . Кроме того, мы видим, что при всегда можно найти в множества такие, что

Пусть — топологическое пространство, определенное семейством открытых множеств. Докажем, что любое интегральное многообразие пространства является подпространством пространства . Пусть — любая точка из Тогда:

1) Любая окрестность точки относительно содержит некоторое открытое подмногообразие мнсгообразия Это подмногообразие, будучи интегральным многообразием распределения есть множество из семейства и потому является окрестностью точки относительно 33.

2) Любая окрестность точки относительно содержит множество О такое, что Принимая во внимание определение семейства 0, мы видим, что О содержит некоторое интегральное многообразие распределения содержащее Тогда в силу предложения 1 § VII, стр. 137, содержит окрестность точки в

Из 1) и 2) немедленно следует, что есть открытое подпространство пространства .

Пусть любая связная компонента пространства , рассматриваемая как его подпространство. Докажем, что является базисным пространством некоторого интегрального многообразия распределения

С этой целью выберем сперва для каждой точки какое-нибудь содержащее ее интегральное многообразие распределения Если то как открытое связное подмножество пространства , содержится в Обозначим через класс вещественных функций, аналитичных в на с Эти функции можно считать заданными в окрестностях точки Мы утверждаем, что соответствие определяет на многообразие. Условия § 4,

стр. 106, очевидно, выполнены. Далее, если в качестве окрестности V, фигурирующей в условии III, выбрать окрестность удовлетворяющую условию III для то условия III 1), 2) также будут выполнены. Что касается условии III 3), то заметим, что если то многообразия содержат общее им обоим открытое подмногообразие, а отсюда непосредственно следует, что выполнено и условие III 3).

Пусть — многообразие, определенное на соответствием Если то очевидно, является открытым подмногообразием многообразия поэтому есть интегральное многообразие распределения Оно, очевидно, не зависит от выбора многообразий Так как то мы видим, что любсе интегральное многообразие распределения пересекающееся с целиком входит в как открытое подмногообразие.

Нами доказана

Теорема 2. Пусть — многообразие инволютивное распределение на Через каждую точку проходит максимальное интегральное многообразие распределения т. е. интегральное многообразие, не являющееся уже подмножеством никакого более широкого интегрального многообразия, Любое интегральное многообразие, содержащее является открытым подмногообразием многообразии

Замечание. Максимальные интегральные многообразия, очевидно, однозначно характеризуются свойствами, установленными в теореме 2.