Глава I. КЛАССИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ

Краткое содержание. В главе I вводятся классические линейные группы, изучение которых составляет одну из главных задач теории групп Ли. В § I определяются унитарная и ортогональная группы и ряд других групп. Устанавливается фундаментальное их свойство—компактность.

Предметом § II является изучение экспоненциала матрицы. Свойство матрицы быть ортогональной или унитарной определяется системой нелинейных сооошений между ее коэффициентами; экспоненциальное отображение дает параметрическое представление совокупности унитарных (или ортогональных) матриц посредством матриц, коэффициенты которых удовлетворяют линейным соотношениям (см. предложение 5 § II, стр. 18). Читатель заметит, что все пространства вводимые на стр. 17, вместе с содержат также Хотя и можно было бы дать здесь элементарное объяснение этому факту, мы этого все же не сделали, исходя из того соображения, что важность этого результата можно полностью уразуметь лишь значительно позже (в главе IV). В случаях ортогональной и унитарной групп линеаризация может быть достигнута также с помощью параметризации Кэли (которую мы не вводим); однако экспоненциальное отображение с нашей точки зрения предпочтительнее, поскольку оно сохраняет некоторые свойства обыкновенной показательной функции (см. предложение 3 § II, стр. 16).

§§ III и IV подготавливают доказательство результата, устанавливаемого в § V (предложение 1, стр. 28). Дается определение эрмитовых матриц в терминах унитарной геометрии комплексного векторного пространства (унитарная геометрия определяется с помощью понятия эрмитова произведения двух векторов совершенно так же, как эвклидову геометрию можно определить в терминах скалярного произведения). Предложение стр. 21, показывает, что унитарные матрицы суть изометрические преобразования в унитарной геометрии.

Предложение, утверждающее, что полная линейная группа может быть разложена в топологическое произведение унитарной группы и пространства положительно определенных матриц (предложение 1 § V, стр. 28), является прототипом теорем, позволяющих вывести топологические свойства общих групп Ли из свойств компактных групп. Аналогичное разложение дается и для комплексной ортогональной группу (предложение 2 § V, стр. 29),

§§ VI и VII подготавливают определение симплектических групп. Симплектическая группа определяется как группа изометрических преобразований симплектической геометрии (определение 1 § VII, стр. 35), В § VIII мы строим представление группы комплексными матрицами порядка Рассмотрение условий, которым должны удовлетворять матрицы этого представления, подсказывает введение новой группы — комплексной симплектической группы Легко видеть, что стоит в таком же отношении к как к или Для можно было бы без особого труда вывести предложение типа предложения стр. 28. Однако мы не сочли нужным устанавливать это предложение, содержащееся как частный случай в теореме, доказываемой позже (следствие теоремы 5 главы VI, стр. 309).