§ VII. Представляющее кольцо

Определение 1. Представляющим кольцом компактной группы Ли мы называем кольцо, порожденное коэффициентами всех представлений группы над полем комплексных чисел.

Другими словами, элементами представляющего кольца служат комплексные функции на которые можно выразить в виде полиномов от коэффициентов представлений этой группы.

Более обще, пусть любая система представлений группы . Через мы будем обозначать кольцо, порожденное коэффициентами всех представлений, принадлежащих системе

Пусть и — две системы представлений; определим, при каком условии

Мы будем называть систему 8 замкнутой, если выполнены следующие условия:

1) Если также

2) Вместе с каждым представлением, входящйм в в входят и все содержащиеся в нем неприводимые представления.

3) Всякое представление, эквивалентное представлению, входящему в также входит в

Пусть — любая система представлений группы Рассмотрим систему всех неприводимых представлений, содержащихся в представлениях вида

Если и принадлежат системе то каждое неприводимое представление, содержащееся в принадлежит системе Обозначим через 8 систему всех представлений, эквивалентных представлениям вида

Ясно, что система 8 замкнута и притом является наименьшей замкнутой системой представлений, содержащей заданную систему

Предложение 1. Пусть — какая-нибудь система представлений группы и — наименьшая содержащая ее

замкнутая система представлений. Кольцо совпадает с совокупностью А всех линейных комбинаций с комплексными коэффициентами, образованных из коэффициентов неприводимых представлений, принадлежащих системе

Пусть произвольное неприводимое представление, принадлежащее системе существуют представления такие, что содержится в т. е. существует регулярная матрица такая, что

где некоторое представление. Каждый коэффициент представления есть произведение коэффициентов представлений и потому принадлежит кольцу Отсюда следует, что и коэффициенты представления (а в частности и коэффициенты представления принадлежат кольцу Таким образом, содержатся коэффициенты любого представления А из Действительно, как мы знаем,

где регулярная матрица, неприводимые представления, принадлежащие системе

Далее, для любых двух неприводимых представлений принадлежащих системе имеем также Это показывает, что А содержит произведение любого коэффициента представления на любой коэффициент представления откуда непосредственно следует, что А — кольцо. Так как и каждый коэффициент любого представления из содержится в А, то заключаем, что

Предл ожение 2. Пусть две системы представлений группы Необходимым и достаточным условием совпадения колец является совпадение наименьших замкнутых систем представлений, содержащих, соответственно,

Предложение 1 показывает, что это условие достаточно. Для доказательства обратного утверждения предположим, что существует неприводимое представление принадлежащее наименьшей замкнутой системе, содержащей но не принадлежащее наименьшей замкнутой системе, содержащей Пусть любой ненулевой коэффициент представления Тогда для любого коэффициента неприводимого представления,

принадлежащего наименьшей замкнутой системе, содержащей и в силу соотношений ортогональности, имеем:

Следовательно, эта же формула справедлива и для любого

то функция не принадлежит кольцу и значит

Определение 2. Мы будем говорить, то система представлений группы достаточная, геля наименьшей замкнутой системой, содержащей служит система всех представлений группы

Из предложения 2 следует, что система 8 будет достаточной тогда и только тогда, когда есть всё представляющее кольцо. Кроме того, из доказательства предложения 2 видно, что если система не является достаточной, то существует неприводимое представление группы такое, что для каждого и каждого коэффициента представления имеет место равенство (1).

Предложение 3. Если компактная группа допускает точное представление то система представление, комплексно сопряженное с является достаточной.

Пусть степень представления и

Лемма 1. Пусть - любая непрерывная функция на — положительное число. Кольцо, порожденное функциями содержит функцию такую что

Обозначим вещественные и мнимые части коэффициентов матрицы порядка через

Представление отображает группу непрерывно и однозначно на некоторую подгруппу группы Так

как компактна, то есть гомеоморфизм и компактна. Отнесем каждому точку координатами которой служат числа

Очевидно, мы получим так гомеоморфное отображение группы на некоторое компактное подмножество К пространства Функция есть непрерывная функция, определенная на К. Согласно известной теореме топологии можно продолжить до непрерывной функции, определенной на всём пространстве сохраним и за этой продолженной функцией обозначение Будучи компактным, К ограничено; пусть верхняя грань абсолютных значений координат точек из К. По аппроксимационной теореме Еейерштрасса, существует полином

удовлетворяющий неравенству

для всех точек области

Полагая

будем иметь:

Так как

то есть полином от функций и лемма 1 доказана.

Теперь мы можем доказать предложение 3. Предположим, что, в противоречие с тем, что утверждается этим предложением,

система не является достаточной. Из замечания, следующего за определением 2, вытекает, что тогда на существует непрерывная функция такая, что для каждого имеет место равенство (1). Пусть верхняя грань абсолютных значений функции Так как

то можно найти число такое, что

По лемме 1 существует функция удовлетворяющая неравенству

Но тогда

и мы пришли к противоречию. Предложение 3 доказано.

Замечание. Из леммы 1 следует, что если компактная группа Ли, допускающая по крайней мере одно точное представление, то каждая непрерывная функция на может быть с любой точностью аппроксимирована функцией, принадлежащей представляющему кольцу группы Позже мы докажем, что этот результат справедлив независимо от каких бы то ни было предположений о существовании представлений, и, наоборот, из него выведем существование точного представления.

Пусть теперь замкнутая подгруппа нашей компактной группы Ли Если представление группы то отображение, индуцируемое на отображением является представлением группы мы будем говорить, что это представление индуцировано на представлением

Предложение 4. Если компактная группа Ли допускает по крайней мере одно точное представление, то каждое неприводимое представление замкнутой ее подгруппы содержится в представлении, индуцируемом на некоторым представлением группы

Пусть точное представление группы индуцируемое им представление подгруппы Тогда есть точное

представление группы значит, в силу предложения является достаточной системой представлений этой группы. Поэтому каждое неприводимое представление группы содержится в некотором представлении вида Но, очевидно, любое такое представление индуцируется на некоторым представлением группы

Предложение 5. Пусть компактная группа Ли, допускающая по крайней мере одно тонное представление, и замкнутая подгруппа группы Если то существует по крайней мере одно неприводимое представление группы отличное от единичного и обладающее тем свойством, что представление, индуцируемое им на содержит единичное представление группы

Выберем в каждом классе эквивалентных представлений группы по одному представлению Пусть коэффициенты представления Каждая функция представляющего кольца о группы может бъщь записана в виде

где пробегает все классы неприводимых представлений, коэффициенты же константы, из которых лишь конечное число отлично от нуля. Пользуясь соотношениями ортогональности, получаем:

где единичное представление.

Предположим, что, в противоречие с нашим утверждением, ни одно из представлений не индуцирует на представления, содержащего единичное представление группы Тогда функция, индуцируемая на каждым коэффициентом будет линейной комбинацией коэффициентов неприводимых представлений группы отличных от единичного представления.

Тем же путем, каким было доказано равенство (2), убеждаемся, что мы будем иметь тогда

где инвариантный интеграл по компактной группе нормированный, как обычно, условием

Равенство выполняющееся для всех функций из представляющего кольца , справедливо вообще для любой непрерывной функции на поскольку такая функция может быть с произвольной точностью аппроксимирована функцией из .

Но так как то на существует непрерывная функция удовлетворяющая следующим условиям: 1) равна нулю всюду на не есть тождественный нуль на Тогда

и мы пришли к противоречию.

Вернемся теперь к изучению произвольной компактной группы Ли не предполагая, что допускает точное представление. Пусть — совокупность тех элементов которые при всех представлениях группы изображаются единичными матрицами. Ясно, что есть замкнутая инвариантная подгруппа группы Обозначим группу через Каждое представление группы отображая в единичную матрицу, определяет некоторое представление группы Обратно, каждое представление группы очевидно, будет соответствовать некоторому представлению группы Это показывает, что представляющие кольца групп будут изоморфны.

Далее, для любого элемента группы отличного от нейтрального элемента существует представление этой группы такое, что не есть единичная матрица. Мы выведем из этого, что допускает точное представление.

Так как группа Ли, то в существует открытая окрестность нейтрального элемента не содержащая никакой подгруппы обозначим дополнение множества через Будем обозначать ядро любого представления группы через Ясно, что есть замкнутая подгруппа группы и что пересечением групп

соответствующих всем представлениям служит множество Поэтому

Так как компактно, то существует конечное множество представлений группы такое, что

Отсюда

и так как левая часть этого соотношения является группой, то заключаем, что

Но тогда ясно, что есть точное представление группы

Отсюда легко вытекает

Предложение 6. Для любой компактной группы Ли существует представление обладающее тем свойством, что каждый элемент ядра этого представления изображается единичной матрицей также при любом другом представлении группы Коэффициенты представлений составляют систему образующих представляющего кольца группы

Последнее утверждение следует из предложения 3, примененного к группе где — ядро представления